Σταθερή περίμετρος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σταθερή περίμετρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 25, 2019 7:39 pm

Σταθερή περίμετρος..png
Σταθερή περίμετρος..png (10.34 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC της μορφής (b,c,a)=(3k, 4k, 5k) και τυχαίο σημείο P στη διχοτόμο του CD.

Από το P φέρνω κάθετη στη διχοτόμο που τέμνει την υποτείνουσα στο M και παράλληλη στην AB που τέμνει την AC

στο Z. Η παράλληλη από το M στην AC τέμνει την AB στο E και την ZP στο H.

α) Να δείξετε ότι για τις διάφορες θέσεις του P, η περίμετρος του ορθογωνίου AEHZ είναι σταθερή. Συμβαίνει σε όλα τα

ορθογώνια τρίγωνα αυτό; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

β) Μπορείτε να γενικεύσετε για μη ορθογώνιο τρίγωνο;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4363
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σταθερή περίμετρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Απρ 25, 2019 11:39 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Ξεκινώ με το πρώτο ερώτημα. Χρησιμοποιώ το σχήμα του Γιώργου, δίχως παρεμβάσεις (μόνο με προσθήκη συντεταγμένων).


Σταθερή περίμετρος..png
Σταθερή περίμετρος..png (10.34 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

Έστω k = 1, οπότε είναι A(0,0), B(4, 0), C(0, 3).

Από Θ. εσωτερικής διχοτόμου είναι  \displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}} , οπότε  \displaystyle AD = \frac{3}{2}

Άρα  \displaystyle \varepsilon \varphi \left( {ADC} \right) = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{3}{{\frac{3}{2}}} = 2 .

Οπότε  \displaystyle DC:\;\;y =  - 2x + 3 .

Έστω  \displaystyle P\left( {a,\; - 2a + 3} \right),\;\;0 < a < \frac{3}{2} , αφού  \displaystyle D\left( {\frac{3}{2},\;0} \right) .

Οπότε  \displaystyle PM:\;\;y + 2a - 3 = \frac{1}{2}\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}a + 3

Επίσης,  \displaystyle BC:\;y =  - \frac{3}{4}x + 3

Άρα  \displaystyle M\left( {2a,\; - \frac{{3a}}{2} + 3} \right) .

Τότε η περίμετρος του AEHZ είναι  \displaystyle 2\left( {AE + AZ} \right) = 2\left( {2a + 3 - 2a} \right) = 6 , σταθερή.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4363
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σταθερή περίμετρος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Απρ 26, 2019 12:22 am

Συνεχίζω με το δεύτερο υποερώτημα του πρώτου ερωτήματος.

Να δηλώσω εδώ ότι για τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ο εντοπισμός των συντεταγμένων των επίμαχων σημείων είναι κουραστικός ακόμα και για κατά ομολογίαν πωρωμένους χειριστές της Αναλυτικής Γεωμετρίας, όπως ο υπογράφων. Γι' αυτό επινοώ μια άλλη μέθοδο για να αποδείξω ότι η περίμετρος δεν είναι σταθερή.


25-4-2019 Γεωμετρία c.png
25-4-2019 Γεωμετρία c.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές

Έστω ABC τυχαίο ορθογώνιο με υποτείνουσα BC.

Αν το P τείνει να ταυτιστεί με το C η περίμετρος του AEHZ τείνει να γίνει ίση με 2b, ενώ αν το P τείνει να ταυτιστεί με το D, τότε από την ομοιότητα των τριγώνων CKM, ABC είναι  \displaystyle \frac{{KM}}{c} = \frac{{CM}}{{BC}} \Leftrightarrow KM = \frac{{bc}}{a} και η περίμετρος του AEHZ τείνει να γίνει ίση με  \displaystyle 2KM = \frac{{2bc}}{a} , που δεν είναι ίσα, άρα δεν διατηρείται σταθερή.

Ερώτηση: Γιώργο, λέγοντας "γενικεύστε" για τυχαίο τρίγωνο, ζητάς τύπο της περιμέτρου συναρτήσει των πλευρών του;
Συνημμένα
25-4-2019 Γεωμετρία c.ggb
(16.74 KiB) Μεταφορτώθηκε 9 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6600
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερή περίμετρος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Απρ 26, 2019 12:32 am

Σταθερή περίμετρος.png
Σταθερή περίμετρος.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι πάντα ίση με AC = 3k

Δεν ισχύει για όλα τα ορθογώνια τρίγωνα

Γενικεύεται για \vartriangle ABC με 2a = b + c αλλά σχηματίζουμε παραλληλόγραμμο με τη μια πλευρά παράλληλη προς τη BC και την άλλη προς την AB

Σταθερή περίμετρος γενικά.png
Σταθερή περίμετρος γενικά.png (14.54 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές


Στο πρώτο σχήμα : y=m και το τετράπλευρο CZHT είναι τετράγωνο .

Αύριο οι αποδείξεις


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερή περίμετρος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 26, 2019 8:31 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Παρ Απρ 26, 2019 12:22 am

Ερώτηση: Γιώργο, λέγοντας "γενικεύστε" για τυχαίο τρίγωνο, ζητάς τύπο της περιμέτρου συναρτήσει των πλευρών του;
Καλημέρα σε όλους!

Γιώργο, εννοώ κάτι αντίστοιχο με το ορθογώνιο τρίγωνο (δηλαδή διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου). Είναι η σχέση που

έγραψε ο Νίκος και φαίνεται στο δεύτερο σχήμα του. Μόνο που τώρα το ορθογώνιο γίνεται πλάγιο παραλληλόγραμμο.

Για την ιστορία, προέκυψε ενώ έψαχνα κάτι άλλο. Αρχικά, ζητούσα τη θέση του P (για την ακρίβεια υπάρχουν δύο θέσεις)

για την οποία στο αρχικό τρίγωνο είναι: (AEHZ)=2k^2. Στη συνέχεια όμως προτίμησα τη σταθερή περίμετρο.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4363
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σταθερή περίμετρος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Απρ 26, 2019 4:16 pm

Καλησπέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια για τη γενίκευση του θέματος, όπως τη ζήτησε ο Γιώργος. Φαντάζομαι και η αντιμετώπιση του Νίκου θα είναι παρόμοια.


26-04-2019 Γεωμετρία.png
26-04-2019 Γεωμετρία.png (50.05 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

Έστω τρίγωνο ABC με b \le c \le a. Φέρνουμε τη διχοτόμο CD και έστω P τυχαίο σημείο της. Φέρνουμε κάθετη της CD στο P, η οποία τέμνει την BC στο M.

H παράλληλη από το P στην AB τέμνει την AC στο Z και η παράλληλη από το M στην AC τέμνει την AB στο E και την προέκταση της ZP στο H.

Έστω AZ=y, 0<y<b.

Από Θ. Eσωτερικής Διχοτόμου, είναι  \displaystyle AD = \frac{{bc}}{{a + b}} .

Έστω  \displaystyle ZP = x,\;0 < x < \frac{{bc}}{{a + b}} .

Aπό την ομοιότητα των τριγώνων CZP, CAD είναι
 \displaystyle \frac{x}{{\frac{{bc}}{{a + b}}}} = \frac{{b - y}}{b} \Leftrightarrow x\left( {a + b} \right) = bc - cy  \displaystyle  \Leftrightarrow y = b - \frac{{x\left( {a + b} \right)}}{c} (1).

Προεκτείνουμε την MP ώσπου να κόψει την AC στο N.

Αφού ZNHM παραλληλόγραμμο, είναι ZH = 2x,

Οπότε, η περίμετρος του AEHZ είναι ίση με  \displaystyle {\rm P} = 2\left( {ZH + AZ} \right) = 4x + 2y ,

οπότε, λόγω της (1) είναι

 \displaystyle P = 4x + 2b - \frac{{2x\left( {a + b} \right)}}{c} = 2b + \frac{{2\left( {2c - a - b} \right)x}}{c}

οπότε εξαρτάται από το x, άρα είναι μεταβλητή, εκτός από την περίπτωση όπου ο c είναι αριθμητικός μέσος των a, b.
Συνημμένα
26-04-2019 Γεωμετρία.ggb
(25.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 7 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες