Εμβαδόν τριγώνου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 20, 2019 4:59 pm

shape.png
shape.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Με τα δεδομένα του σχήματος, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου AEC.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 20, 2019 5:17 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 4:59 pm
shape.pngΜε τα δεδομένα του σχήματος, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου AEC.
Χριστός Ανέστη!

Το ABCD είναι εγγράψιμο άρα \widehat{BAE}=\widehat{EAC}=\widehat{ECD}\Leftrightarrow \overset{\Delta }{ADC}\sim \overset{\Delta }{ECD}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{DC}=\dfrac{DC}{ED}\Leftrightarrow DC^2=36\Leftrightarrow DC=6

Οπότε είναι \left ( AEC \right )=\left ( ADC \right )-\left ( ECD \right )=\dfrac{12\cdot 6-3\cdot 6}{2}=27\tau .\mu


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4365
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μάιος 20, 2019 8:38 pm

Καλησπέρα σε όλους. Είναι σχεδόν ιεροσυλία να πειράζουμε τα σχήματα του Μιχάλη με βοηθητικές, περίκυκλους κ.α.(*)

Σπαζοκεφάλιασα να βρω μια λύση δίχως καμία παρέμβαση στο σχήμα. Τελικά βρήκα μία.


shape.png
shape.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Στο ABE είναι  \displaystyle \eta \mu \omega  = \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{9} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E} = 9\eta \mu \omega και στο DEC είναι  \displaystyle \eta \mu \omega  = \frac{3}{{C{\rm E}}} \Leftrightarrow CE = \frac{3}{{\eta \mu \omega }}

Οπότε, από Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο ABC είναι

 \displaystyle \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{CE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{9\eta \mu \omega }}{{\frac{3}{{\eta \mu \omega }}}} = \sigma \upsilon \nu 2\omega

 \displaystyle  \Leftrightarrow 3\eta {\mu ^2}\omega  = 1 - 2\eta {\mu ^2}\omega  \Leftrightarrow \eta \mu \omega  = \frac{{\sqrt 5 }}{5} , αφού είναι οξεία γωνία.

Άρα  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \sigma \varphi \omega  = 2 .

Οπότε  \displaystyle \left( {AEC} \right) = \frac{{AE \cdot CE \cdot \eta \mu \left( {90^\circ  + \omega } \right)}}{2} = \frac{{9CE \cdot \sigma \upsilon \nu \omega }}{2} = \frac{{27\sigma \varphi \omega }}{2} = 27 .


(*) Ελπίζω οι νεότεροι αναγνώστες μας να μην παίρνουν απολύτως τοις μετρητοίς τις δικαιολογίες μου, επειδή βαρέθηκα να κάνω νέο σχήμα...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6613
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 20, 2019 10:56 pm

Παρόμοια με την πολύ ωραία λύση του νεαρού Φωτιάδη

Εμβαδόν Τριγώνου _20_5_19.png
Εμβαδόν Τριγώνου _20_5_19.png (29 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
Το τετράπλευρο ABDC είναι εγγράψιμο γιατί τα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B βλέπουν υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες την πλευρά AC. Κατά συνέπεια , \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} .

Δηλαδή η DC εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο AEC. Αν DC = x τότε θα ισχύει: D{C^2} = DE \cdot DA \Rightarrow {x^2} = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow \boxed{x = 6}

Έτσι τώρα : \boxed{(AEC) = \frac{1}{2}AE \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες