mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 22, 2019 12:00 am**

: shape.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD

με

τα μέσα των πλευρών BC,CD

αντίστοιχα. Αν $K \equiv AN \cap DM$ , $DM \bot BC$ ,

διχοτόμος της $\angle A$ και KN = 2

, να βρείτε το μήκος της πλευράς

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 22, 2019 2:50 am**

Η

διχοτομεί τη γωνία στο

του παραλληλογράμμου ABCD

, άρα το τρίγωνο DAN

είναι ισοσκελές οπότε η μεγάλη πλευρά του ABCD

είναι διπλάσια της μικρής.

Ας είναι

το μέσο του

και

το σημείο τομής των $AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BL$ ..

Το τετράπλευρο ALND

είναι ρόμβος και έτσι $\boxed{DE \bot AK}\,\,(1)$ ενώ αφού AD//BC

θα είναι και $MD \bot DA$ .

Φέρνω τώρα BS// = AN

και έστω

το σημείο τομής των $DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ .

: Πλευρά πραλληλογράμμου_ok.png (22.5 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Τα τετράπλευρα : $ALCN\,\,,\,\,LBSC\,\,,\,\,ABSN$ είναι παραλληλόγραμμα , ακόμα δε:

DN = NC = CS

οπότε

και από το τραπέζιο TSNK

έχω:

$\dfrac{{TS + KN}}{2} = CQ \Rightarrow TS = 6 \Rightarrow BS = 10 \Rightarrow \boxed{AN = 10}$ .

Αβίαστα τώρα έχω $AE = EN = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EK = 3$ . Από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle DAK$ έχω :

${x^2} = A{D^2} = AE \cdot AK = 5 \cdot 8 = 40 \Rightarrow \boxed{x = 2\sqrt {10} }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 22, 2019 11:00 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2019 12:00 am
shape.pngΔίνεται παραλληλόγραμμο με τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα. Αν $K \equiv AN \cap DM$ , $DM \bot BC$ , διχοτόμος της $\angle A$ και , να βρείτε το μήκος της πλευράς .

Έστω

το κέντρο του παραλληλογράμμου,

το σημείο τομής των NO, DM

και

το σημείο τομής των AN, BD.

Έστω

ακόμα AD=2x,

οπότε λόγω της διχοτόμου θα είναι DN=AD=2x

κι επειδή

θα είναι και AS=2SN.

: Πλευρά παραλληλογράμμου.Ν.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

Μενέλαος στο OSN

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {DKP} ,$ $\displaystyle \frac{{KN}}{{KS}} \cdot \frac{{SD}}{{DO}} \cdot \frac{{OP}}{{PN}} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{KS}} \cdot \frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow KS = \frac{4}{3} \Rightarrow$ $\boxed{AN=10}$

Ν. συνημιτόνων στο ADN:

$\displaystyle 100 = 8{x^2} - 8{x^2}\cos D = 8{x^2} + 8{x^2}\cos C = 8{x^2} + 8{x^2} \cdot \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \sqrt {10}$ και $\boxed{AD=2\sqrt{10}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 22, 2019 10:41 pm**

Η

διχοτομεί τη γωνία στο

του παραλληλογράμμου ABCD

, άρα το τρίγωνο DAN

είναι ισοσκελές οπότε η μεγάλη πλευρά του ABCD

είναι διπλάσια της μικρής.

Ας είναι

το μέσο της

τότε το τετράπλευρο DZBM

είναι ορθογώνιο.

Ας είναι ακόμα

το σημείο τομής των $AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BZ$ , ενώ

το σημείο τομής των $EC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DM$ .

Στο τρίγωνο CEB

το

είναι μέσο της

και

συνεπώς το

είναι μέσο της πλευράς

με άμεση συνέπεια το

να είναι βαρύκεντρο του $\vartriangle ECD$ .

: Πλευρά πραλληλογράμμου_αλλιώς.png (21.73 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Θα είναι έτσι EK = 2KN = 4

κι αφού και στο τρίγωνο AKD

το

είναι μέσο της

, θα είναι AN = 4 + 4 + 2 = 10

.

Φέρνω το ύψος προς την υποτείνουσα στο $\vartriangle DAK$ και από το Θ. Ευκλείδη έχω :

$A{D^2} = 5 \cdot 8 = 40 \Rightarrow AD = 2\sqrt {10}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 23, 2019 12:40 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2019 12:00 am
shape.pngΔίνεται παραλληλόγραμμο με τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα. Αν $K \equiv AN \cap DM$ , $DM \bot BC$ , διχοτόμος της $\angle A$ και , να βρείτε το μήκος της πλευράς .

Με $\displaystyle KE \bot AB \Rightarrow E$ μέσον της $\displaystyle AB \Rightarrow NE//BC$ και $\displaystyle MN = \frac{{CD}}{2} = EB$

Άρα $\displaystyle NMBE$ ισοσκελές τραπέζιο με ίδιο περίκυκλο με το εγγράψιμο $\displaystyle KEBM$

Ισχύει $\displaystyle AK \cdot AN = AE \cdot AB \Rightarrow$ $\displaystyle y\left( {y - 2} \right) = 8{x^2}$ και $\displaystyle PN \cdot PK = PM \cdot PB \Rightarrow y(y + 2) = 12{x^2}$

Με διαίρεση κατά μέλη έχουμε $\displaystyle \boxed{y = 10}$ άρα $\displaystyle \boxed{x = \sqrt {10} } \Rightarrow \boxed{AD = 2x = 2\sqrt {10} }$

: πλευρά παραλληλογράμμου.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

mathematica.gr

Πλευρά Παραλληλογράμμου

Πλευρά Παραλληλογράμμου

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου