Σελίδα 1 από 1

Σχέση πλευρών τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιουν 19, 2019 5:37 pm
από george visvikis
Σχέση πλευρών τριγώνου..png
Σχέση πλευρών τριγώνου..png (12 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
AH, AD, AM είναι το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα τριγώνου ABC. Αν D είναι το μέσο

του HM, να βρείτε μία σχέση μεταξύ των πλευρών του ABC και να δείξετε ότι η γωνία B\widehat AC είναι οξεία.

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιουν 19, 2019 6:19 pm
από Ορέστης Λιγνός
george visvikis έγραψε:
Τετ Ιουν 19, 2019 5:37 pm
Σχέση πλευρών τριγώνου..png
AH, AD, AM είναι το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα τριγώνου ABC. Αν D είναι το μέσο

του HM, να βρείτε μία σχέση μεταξύ των πλευρών του ABC και να δείξετε ότι η γωνία B\widehat AC είναι οξεία.
Γεια σου Γιώργο.

Έστω K ο Νότιος Πόλος του κύκλου (A,B,C).

Είναι γνωστό ότι τα A,D,K είναι συνευθειακά.

Επίσης, αφού HD=DM, τα τρίγωνα \vartriangle ADH, \vartriangle DMK είναι ίσα.

Οπότε, AD=DK, και αφού BD \cdot DC=AD \cdot DK \Rightarrow AD^2=BD \cdot DC.

Επίσης, BD \cdot DC=\dfrac{ac}{b+c} \cdot \dfrac{ab}{b+c}=\dfrac{a^2bc}{(b+c)^2} (από Θ. Διχοτόμου) και AD^2=bc \cdot \dfrac{(b+c)^2-a^2}{(b+c)^2} (γνωστό - μία απόδειξη γίνεται με το Θ. Stewart)

Άρα, BD \cdot DC=AD^2 \Rightarrow a^2=(b+c)^2-a^2 \Rightarrow \boxed{b+c=a\sqrt{2}}.

Ακόμη, από Ν. Συνημιτόνων a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle A \Rightarrow \cos \angle A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, οπότε αν δείξω ότι b^2+c^2 >a^2 τελείωσα, αφού τότε θα είχα \cos \angle A >0 , οπότε η \angle A θα ήταν οξεία. Τελικά, από C-S :

b^2+c^2 \geqslant \dfrac{(b+c)^2}{2}=a^2.

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιουν 20, 2019 1:38 pm
από ksofsa
Άλλη μια λύση για το 1ο ερώτημα:

Θεωρώ το σημείο K όπως το όρισε ο Ορέστης.

Τότε, τα τρίγωνα ABD, AKC όμοια, αφού < ABD=< AKC, < BAD=< KAC.

Οπότε,

\frac{AD}{CA}=\frac{AB}{AK}\Leftrightarrow AD\cdot AK=AB\cdot CA\Leftrightarrow 2AD^2=AB\cdot CA

Tα τρίγωνα ABC, BKC έχουν το ίδο εμβαδόν ως τρίγωνα με ίδια βάση και αντίστοιχα ίσα ύψη.

Αρα (ABC)=(BKC)\Leftrightarrow AB\cdot ACsinA=BK\cdot KCsinK\Leftrightarrow \Leftrightarrow AB\cdot AC=BK^2

Ακόμη, στο εγγράψιμο τετράπλευρο ABKC από θ. Πτολεμαίου έχω

AB\cdot CK+CA\cdot BK=AK\cdot BC\Leftrightarrow BK(AB+CA)=2AD\cdot BC\Leftrightarrow \sqrt{AB\cdot AC}(AB+CA)=2\sqrt{\frac{AB\cdot CA}{2}}\cdot BC\Leftrightarrow b+c=a\sqrt{2}.

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιουν 21, 2019 10:06 am
από george visvikis
Αλλιώς με 2ο θεώρημα διαμέσων. Έστω b>c.
Σχέση πλευρών τριγώνου..png
Σχέση πλευρών τριγώνου..png (12 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές
{b^2} - {c^2} = 2a(HM) \Leftrightarrow (b - c)(b + c) = 4a(DM) = 4a\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{{ac}}{{b + c}}} \right) = 2{a^2}\dfrac{{b - c}}{{b + c}} \Leftrightarrow

{(b + c)^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow \boxed{b+c=a\sqrt 2}