Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιουν 28, 2019 2:27 am

Καλημέρα σε όλους.
Λόγος ρητός..κανόνας μνημονιακός.PNG
Λόγος ρητός..κανόνας μνημονιακός.PNG (8.08 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι 3BC=5AB και A\widehat{B}C=2\widehat{C} ενώ το BE ύψος του.

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8664
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 28, 2019 7:52 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 2:27 am
Καλημέρα σε όλους.
Λόγος ρητός..κανόνας μνημονιακός.PNG

Στο τρίγωνο ABC είναι 3BC=5AB και A\widehat{B}C=2\widehat{C} ενώ το BE ύψος του.

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο!

Αν AB=3x, τότε BC=5x.
Ένας λόγος ...για δάκτυλα.png
Ένας λόγος ...για δάκτυλα.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές
\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = {c^2} + ac \Leftrightarrow \boxed{b = 2x\sqrt 6} και με κριτήριο καθετότητας:

\displaystyle 25{x^2} - 9{x^2} = (EC + AE)(EC - AE) \Leftrightarrow EC - AE = \frac{{4x\sqrt 6 }}{3}, και \displaystyle EC + AC = 2x\sqrt 6

Εύκολα, τώρα \displaystyle AE = \frac{{x\sqrt 6 }}{3},EC = \frac{{5x\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \boxed{ \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{1}{5}}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 474
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιουν 28, 2019 10:49 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 2:27 am
Καλημέρα σε όλους.
Λόγος ρητός..κανόνας μνημονιακός.PNG

Στο τρίγωνο ABC είναι 3BC=5AB και A\widehat{B}C=2\widehat{C} ενώ το BE ύψος του.

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα!

Με τριγωνομετρία:
Έστω AB=3x,BC=5x,\widehat{ACB}=\vartheta
Νόμος ημιτόνων στο ABC: \dfrac{AC}{\sin2\vartheta }=\dfrac{3x}{\sin\vartheta }\Leftrightarrow AC=6x\cos\vartheta.Επίσης EC=5x\cos\vartheta οπότε EC=\dfrac{5}{6}AC και έτσι \dfrac{AE}{CE}=\dfrac{1}{5}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιουν 28, 2019 11:49 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 2:27 am
Καλημέρα σε όλους.
Λόγος ρητός..κανόνας μνημονιακός.PNG

Στο τρίγωνο ABC είναι 3BC=5AB και A\widehat{B}C=2\widehat{C} ενώ το BE ύψος του.

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα

Εστω \hat{ABD}=\hat{DBC}=\hat{ACB}=\omega ,\hat{ADB}=2\omega ,DM\perp BC,EK\perp BC,,

τότε απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο ABC,AD=\dfrac{3b}{8},BD=DC=\dfrac{5b}{8},a=\dfrac{5c}{3},


Απο τα όμοια τρίγωνα ABD,ABC,BD=DC=\dfrac{ac}{b}=\dfrac{5c^{2}}{3b},

Οπότε \dfrac{5c^{2}}{3b}=\dfrac{5b}{8}\Leftrightarrow 8c^{2}=3b^{2},(*)

MD//KE,\dfrac{DC}{EC}=\dfrac{MC}{KC}\Rightarrow EC=\dfrac{20c^{2}}{9b}, AE=b-EC=\dfrac{9b^{2}-20c^{2}}{9b}, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{9b^{2}}{20c^{2}}-1=\dfrac{1}{5},,λόγω της (*)


Γιάννης
Συνημμένα
Λόγος για τα..... δάκτυλα του ενός χεριού.png
Λόγος για τα..... δάκτυλα του ενός χεριού.png (41.85 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3255
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιουν 28, 2019 2:39 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 2:27 am
Καλημέρα σε όλους.

Στο τρίγωνο ABC είναι 3BC=5AB και A\widehat{B}C=2\widehat{C} ενώ το BE ύψος του.

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!
shape.png
shape.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές
Φέρω τη διχοτόμο BD της \widehat B = 2\omega και έστω C' το συμμετρικό του C ως προς BE.

Σχηματίζονται τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα DBC,\,BCC' καθώς και τα όμοια τρίγωνα CBA,C'DB

Θέτω AB = 3x,\,BC = 5x,\,AE = m,\,CD = 5k και συμπληρώνω τα υπόλοιπα στοιχεία στο σχήμα.

Από το πρώτο ζευγάρι τριγώνων θα ισχύει: \dfrac{{5k}}{{5x}} = \dfrac{{5x}}{{16k - 2m}} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{16{k^2} - 2mk}}{5}\,(1) και από το δεύτερο: \dfrac{{5k}}{{3x}} = \dfrac{{5x}}{{8k}} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{8{k^2}}}{3}\,\,(2)

Από (1),(2) \Rightarrow m = \dfrac{{4k}}{3}, οπότε \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{m}{{8k - m}} = \dfrac{{4k/3}}{{20k/3}} = \dfrac{1}{5}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3255
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιουν 28, 2019 4:14 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 2:27 am
Καλημέρα σε όλους.

Στο τρίγωνο ABC είναι 3BC=5AB και A\widehat{B}C=2\widehat{C} ενώ το BE ύψος του.

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Άλλη μια..
shape2.png
shape2.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές
Έστω D \in BC με AD = AB=3x και DM \bot AC…τα υπόλοιπα στο σχήμα…


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Altrian
Δημοσιεύσεις: 198
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιουν 28, 2019 4:20 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Εύκολα προκύπτει από το σχήμα ότι: AE=u, EK=2u, KC=3u\Rightarrow \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{5}
Συνημμένα
λογος για τα δακτυλα του ενος χεριου.png
λογος για τα δακτυλα του ενος χεριου.png (30.31 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1722
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιουν 28, 2019 11:48 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 2:27 am
Καλημέρα σε όλους.
Λόγος ρητός..κανόνας μνημονιακός.PNG

Στο τρίγωνο ABC είναι 3BC=5AB και A\widehat{B}C=2\widehat{C} ενώ το BE ύψος του.

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.

\displaystyle 2\left( {ABC} \right) = ac\sin 2C = ab\sin C \Rightarrow 2c\cos C \cdot \sin C = b\sin C \Rightarrow \boxed{\cos C = \frac{b}{{2c}}}

Έτσι,\displaystyle \frac{{EC}}{a} = \frac{b}{{2c}} \Rightarrow \boxed{EC = \frac{{ab}}{{2c}}} \Rightarrow \boxed{AE = \frac{{2bc - ab}}{{2c}}}

Άρα,\displaystyle \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{b(2c - a)}}{{ab}} = 2\frac{c}{a} - 1 = 2 \cdot \frac{3}{5} - 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{1}{5}}
λόγος.png
λόγος.png (6.5 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Λόγος για τα..δάκτυλα του ενός χεριού

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 02, 2019 4:51 pm

Καλό απόγευμα.Γιώργο, Πρόδρομε, Γιάννη , Μιχάλη, Αλέξανδρε και Μιχάλη
σας ευχαριστώ όλους για την ποικιλία των λύσεων ! Μια ακόμη , αυτή που είχα στο νου κατά την δημοσίευση.
Λόγος..δάκτυλα.PNG
Λόγος..δάκτυλα.PNG (7.27 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές
Στο σχήμα το τρίγωνο ABC χωρίστηκε στα ισοσκελή BAZ, BHZ και ZHC.

Είναι HM \parallel  BE (κάθετες στην AC) και παίρνουμε \dfrac{EM}{MC}=\dfrac{BH}{HC}\Rightarrow \dfrac{x+y}{y}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow y=2x.

Οπότε \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{x}{x+2y}=\dfrac{1}{5}. Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης