Διαχωρισμός και λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: Διαχωρισμός και λόγος.PNG (9.38 KiB) Προβλήθηκε 921 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι οξυγώνιο με $\widehat{B}=2\widehat{C}$ .

Ι) Μπορούμε να το χωρίσουμε σε τρία ισοσκελή τρίγωνα ;

Αν δοθεί $\dfrac{AB}{BC}=k$ και

ύψος του τότε
ΙΙ) Να υπολογιστεί , συναρτήσει του , ο λόγος $\dfrac{AE}{EC}$ . Ευχαριστώ , Γιώργος.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 29, 2019 10:01 am
Χαιρετώ.
Διαχωρισμός και λόγος.PNG
Το τρίγωνο είναι οξυγώνιο με $\widehat{B}=2\widehat{C}$ .

Ι) Μπορούμε να το χωρίσουμε σε τρία ισοσκελή τρίγωνα ;

Αν δοθεί $\dfrac{AB}{BC}=k$ και ύψος του τότε
ΙΙ) Να υπολογιστεί , συναρτήσει του , ο λόγος $\dfrac{AE}{EC}$ . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ι)

Φέρουμε την διχοτόμο

της $\widehat{B}$ και πάνω σε αυτή θεωρούμε σημείο ώστε $\widehat{LAB}=\widehat{ABD}$ . Έτσι τα BDC,ABL

είναι ισοσκελή και $\widehat{ALD}=2\widehat{ABD}=2\widehat{DBC}=\widehat{ADL}$ άρα και το ALD

ισοσκελές.

ΙΙ)

$\dfrac{AB}{BC}=k\Leftrightarrow AB=kBC$ .

Νόμος ημιτόνων στο ABC

$\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{kBC}{\sin C}\Leftrightarrow AC=2\cos C\cdot kBC$
Είναι $EC=BC\cos C$

Άρα $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AC-EC}{EC}=\dfrac{2\cos C\cdot kBC}{BC\cos C}-1=2k-1\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{AE}{EC}=2k-1}$

: 77.PNG (22.32 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

#3

Αλλιώς για το πρώτο ερώτημα σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο (ανεξάρτητα από τη συνθήκη $\widehat B=2\widehat C$ ).

Το περίκεντρο

είναι εσωτερικό σημείο και τα τρίγωνα OAB, OBC, OAC

είναι ισοσκελή.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 29, 2019 10:01 am
Χαιρετώ.
Διαχωρισμός και λόγος.PNG
Το τρίγωνο είναι οξυγώνιο με $\widehat{B}=2\widehat{C}$ .

Ι) Μπορούμε να το χωρίσουμε σε τρία ισοσκελή τρίγωνα ;

Αν δοθεί $\dfrac{AB}{BC}=k$ και ύψος του τότε
ΙΙ) Να υπολογιστεί , συναρτήσει του , ο λόγος $\dfrac{AE}{EC}$ . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Κατασκευή

: Διαχωρισμός και λόγος_oritzin.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές

Έστω

τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα και ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο

του οποίου $\boxed{\dfrac{{PA}}{{PC}} = k}$ ο οποίος τέμνει το

στο

.

Γράφω και το κύκλο (D,DC)

που τέμνει τον Απολλώνιο αυτό κύκλο στο

. Το $\vartriangle ABC$ είναι το ζητούμενο .

Απόδειξη

Επειδή $\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{DC}} = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = DC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AB = ka \hfill \\ \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AB = ka \hfill \\ \widehat B = 2\widehat C \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Διαχωρισμός και λόγος.png (54.45 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές

α) Γράφω το κύκλο (A,B,D)

που τέμνει την

στο

κι έστω

το μέσο του

. Επειδή $\widehat {BSA} = \widehat {BDA} = 2\widehat C \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {ABS} = \widehat {ASB} = 2\widehat \theta \hfill \\ \widehat \theta = \widehat C \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Τελικά έχω τα εξής ισοσκελή τρίγωνα: $\vartriangle ABS,\,\,\vartriangle SAC,\,\vartriangle DBC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle DAS$

β) Επειδή $SC = SA = AB = ka\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC = \dfrac{a}{2}$ θα είναι :

$\dfrac{{MS}}{{MC}} = \dfrac{{SC - MC}}{{MC}} = \dfrac{{ka - \dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = 2k - 1$ . Για τα όμοια τρίγωνα $BAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DSC$ τα

$BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DM\,$ είναι ομόλογα ύψη και άρα : $\boxed{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{MS}}{{MC}} = 2k - 1}$

#5

Για το β) ερώτημα ακολουθώ την ίδια διαδικασία, όπως στην ανάρτησή μου εδώ:

: Ratio.png (11.31 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

Πρώτα βρίσκω $\displaystyle b = \sqrt {{c^2} + ac} = x\sqrt {{k^2} + k}$ και στη συνέχεια με κριτήριο καθετότητας,

$\displaystyle {x^2}(1 - {k^2}) = x\sqrt {{k^2} + k} \left( {EC - AE} \right)$ με $EC+AE=x\sqrt{k^2+k}$

Τέλος λύνοντας το σύστημα, $\displaystyle \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{2{k^2} + k - 1}}{{k + 1}} = \frac{{(k + 1)(2k - 1)}}{{k + 1}} = 2k - 1$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό απόγευμα. Να ευχαριστήσω τον νεαρό Πρόδρομο και τους Γιώργο και Νίκο για τις ωραίες προσεγγίσεις-λύσεις τους!

Πριν δώσω και προσωπική λύση ας τροποποιήσω το πρώτο ζητούμενο , μετά την αφοπλιστική γενίκευση του Γιώργου ως ιδιότητα του περίκεντρου ..

.
Το κάνω κυρίως για την ..εξυπηρέτηση του β' ερωτήματος.

Να διαχωριστεί το ως άνω τρίγωνο σε τρία ισοσκελή τρίγωνα των οποίων όλες οι κορυφές να είναι πάνω στις πλευρές του .

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.

#7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 30, 2019 5:20 pm

...Να διαχωριστεί το ως άνω τρίγωνο σε τρία ισοσκελή τρίγωνα των οποίων όλες οι κορυφές να είναι πάνω στις πλευρές του .

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.

Καλησπέρα σε όλους!

: Ratio.a.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Ο κύκλος

τέμνει τις AC, BC

στα

αντίστοιχα. Tα τρίγωνα ABD, BDF, DFC

είναι ισοσκελή.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 30, 2019 5:20 pm

Να διαχωριστεί το ως άνω τρίγωνο σε τρία ισοσκελή τρίγωνα των οποίων όλες οι κορυφές να είναι πάνω στις πλευρές του .

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.

Ένας ακόμη τρόπος:

: 79.PNG (26.28 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Παίρνω σημείο

στη

ώστε

και από το

φέρω παράλληλη στην διχοτόμο

η οποία τέμνει την

στο

.

Τα

είναι ισοσκελή.

#9

Αλλιώς για το β) ερώτημα. Φέρνω τις DZ, FH||BE

και είναι

: Ratio.b.png (17.32 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

$\displaystyle \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{BZ}}{{BC}} = \frac{{x - 2(x - kx)}}{x} = 2k - 1$

Διαχωρισμός και λόγος

Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Re: Διαχωρισμός και λόγος

Μέλη σε σύνδεση