Κριτήριο ισοπλεύρου

#1

: Κριτήριο ισοπλεύρου.2.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Έστω

σημείο της βάσης

τριγώνου

Ο κύκλος που διέρχεται από το

και εφάπτεται της

στο

επανατέμνει

τις AB, AC

στα

αντίστοιχα. Αν AD=DE+DF

για κάθε θέση του

να δείξετε ότι το ABC

είναι ισόπλευρο.

ksofsa · #2

Θα δείξω αρχικά ότι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει αυτήν την ιδιότητα.

Τα τρίγωνα ABD, BFD

όμοια.

Αρα $\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{AB}$

Επίσης, $\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CD}{AC}$

Οπότε

$\dfrac{DF}{AD}+\dfrac{DE}{AD}=1\Leftrightarrow AD=DF+DE$

Θα δείξω τώρα ότι κάθε τρίγωνο με αυτήν την ιδιότητα είναι ισόπλευρο.

Εστω

διχοτόμος

Τότε
DE=DF

και η

κάθετη στην

και

άρα EF//BC

Από θ. Πτολεμαίου

$AF\cdot DE+AE\cdot DF=AD\cdot EF\Leftrightarrow DF(AE+AF)=2DF\cdot EF\Leftrightarrow AE+AF=2EF$

Επειδή AFE,ABC

όμοια έχω

Εστω

ύψος.

$(ABC)=(ABD)+(ACD)\Leftrightarrow AD\cdot BC=DF\cdot AB+DE\cdot AC\Leftrightarrow DE\cdot BC+DF\cdot BC=DF\cdot AB+DE\cdot AC\Leftrightarrow DE(BC-AC)=DF(AB-BC)\Leftrightarrow DE=DF$

$sin<BAD=\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow <BAD=30\Leftrightarrow <B=60$

Ομοια <C=60

και το τρίγωνο ισόπλευρο.

Ορέστης Λιγνός · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 03, 2019 7:36 pm

Κριτήριο ισοπλεύρου.2.png
Έστω σημείο της βάσης τριγώνου Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται της στο επανατέμνει

τις στα αντίστοιχα. Αν για κάθε θέση του να δείξετε ότι το είναι ισόπλευρο.

Γεια σου Γιώργο, γεια σου Κώστα.

Τα τρίγωνα $\vartriangle BFD, \vartriangle ABD$ είναι όμοια, οπότε $\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{AB} \Rightarrow \dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{c}$ και όμοια $\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{DC}{b}$ .

Συνεπώς, $DE+DF=AD \Rightarrow \dfrac{DE}{AD}+\dfrac{DF}{AD}=1 \Rightarrow\dfrac{BD}{c}+\dfrac{DC}{b}=1$ .

Αφού όμως, BD=a-DC

, προκύπτει μετά τις πράξεις (c-b)DC=b(a-c)

, για κάθε θέση του

.

Αν $c \neq b$ , τότε $DC=\dfrac{b(a-c)}{c-b}$ , για κάθε θέση του

, άτοπο.

Οπότε, $c=b \Rightarrow b(a-c)=0 \Rightarrow a=c$ , οπότε το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο.

Η παραπάνω απόδειξη εξασφαλίζει και την ισχύ του αντίστροφου.

Κριτήριο ισοπλεύρου

Κριτήριο ισοπλεύρου

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση