Καθετότητα και ισότητα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1088
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Καθετότητα και ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιούλ 06, 2019 6:22 pm

Χαιρετώ.
Καθετότητα και ισότητα.PNG
Καθετότητα και ισότητα.PNG (9.42 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές
Το ABCD είναι τετράγωνο και το τρίγωνο DEC είναι ισοσκελές με \widehat{DEC}=150^{0}.

ΟΙ AD,BE τέμνονται στο Z ενώ οι DE , BC στο H

Να εξεταστεί αν είναι AC \perp HZ και AC=HZ..

Να υποθέσω ότι το θέμα .. :) .. δεν έχει μόνο μια λύση..Σας ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα και ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 06, 2019 6:56 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 6:22 pm
Χαιρετώ.
Καθετότητα και ισότητα.PNG
Το ABCD είναι τετράγωνο και το τρίγωνο DEC είναι ισοσκελές με \widehat{DEC}=150^{0}.

ΟΙ AD,BE τέμνονται στο Z ενώ οι DE , BC στο H

Να εξεταστεί αν είναι AC \perp HZ και AC=HZ..

Να υποθέσω ότι το θέμα .. :) .. δεν έχει μόνο μια λύση..Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!
Καθετότητα και ισότητα..png
Καθετότητα και ισότητα..png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές
EC=ED, άρα το AEB είναι ισοσκελές, οπότε το E είναι μέσο των BZ, DH.

Επομένως το BHZD είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή BD=AC, BD\bot AC, τα ζητούμενα έπονται.


Παρατήρηση: Η γωνία \widehat{DEC}=150^{0} δεν χρειάζεται. Αρκεί EC=ED.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1088
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Καθετότητα και ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 09, 2019 12:07 am

Καλό βράδυ. Όπως γράφει και ο Αλέξανδρος ΕΔΩ , ο Γιώργος (G.V.) έχει πάντα δίκιο!
Νέα διατύπωση με νέο ζητούμενο ( για χρήση και της γωνίας)
Λόγος εμβαδών...PNG
Λόγος εμβαδών...PNG (10.25 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές
Εξωτερικά του τετραγώνου ABCD θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο DEC με \widehat{DEC}=150^{0}

ΟΙ AD,BE τέμνονται στο  Z ενώ οι DE , BC στο H. Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( AZHC \right )}{\left (ABCD  \right )}

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα και ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 09, 2019 9:00 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 12:07 am
Καλό βράδυ. Όπως γράφει και ο Αλέξανδρος ΕΔΩ , ο Γιώργος (G.V.) έχει πάντα δίκιο!
Νέα διατύπωση με νέο ζητούμενο ( για χρήση και της γωνίας)Λόγος εμβαδών...PNG

Εξωτερικά του τετραγώνου ABCD θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο DEC με \widehat{DEC}=150^{0}

ΟΙ AD,BE τέμνονται στο  Z ενώ οι DE , BC στο H. Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( AZHC \right )}{\left (ABCD  \right )}

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.
Καλημέρα!

Κατά λάθος άλλαξα το γράμμα E με M.
Καθετότητα  και ισότητα.ΙΙ.png
Καθετότητα και ισότητα.ΙΙ.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές
Επειδή DM=MC, AM=MB, το M είναι μέσο των BZ, DH, άρα το BHZD είναι παραλληλόγραμμο και

\displaystyle  DZ =BH= a + CH = a + a\tan 15^\circ  = a(3 - \sqrt 3 ). Οπότε, \displaystyle AZ = a + a(3 - \sqrt 3 ) = a(4 - \sqrt 3 )

\displaystyle \frac{{(AHZC)}}{{(ABCD)}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}\left( {a(2 - \sqrt 3 ) + a(4 - \sqrt 3 )} \right)}}{{{a^2}}} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{\left ( AZHC \right )}{\left (ABCD  \right )}=3-\sqrt 3}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1679
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Καθετότητα και ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 09, 2019 11:11 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 12:07 am
Καλό βράδυ. Όπως γράφει και ο Αλέξανδρος ΕΔΩ , ο Γιώργος (G.V.) έχει πάντα δίκιο!
Νέα διατύπωση με νέο ζητούμενο ( για χρήση και της γωνίας)Λόγος εμβαδών...PNG

Εξωτερικά του τετραγώνου ABCD θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο DEC με \widehat{DEC}=150^{0}

ΟΙ AD,BE τέμνονται στο  Z ενώ οι DE , BC στο H. Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( AZHC \right )}{\left (ABCD  \right )}

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.

Επειδή \displaystyle DZ//BH και \displaystyle E μέσον της \displaystyle DH θα είναι \displaystyle DZ = BH = a + x

Με \displaystyle \vartriangle DMC ισόπλευρο,τα \displaystyle \vartriangle EMC,ECH είναι μορφής \displaystyle \left( {{{75}^0}{{,75}^0}{{,30}^0}} \right) άρα όμοια και

\displaystyle \frac{x}{{EC}} = \frac{{EH}}{a} \Rightarrow ax = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4} \Rightarrow {x^2} - 4ax + {a^2} = 0 με δεκτή λύση \displaystyle x = a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)

Έτσι,εύκολα \displaystyle \left( {ACHZ} \right) = \left( {3 - \sqrt 3 } \right){a^2} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {ACHZ} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = 3 - \sqrt 3 }
καθετότητα και ισότητα.png
καθετότητα και ισότητα.png (20.8 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες