Καθετότητα σε τετράγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Καθετότητα σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:44 pm

Καθετότητα σε τετράγωνο.png
Καθετότητα σε τετράγωνο.png (8.06 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD υπάρχει σημείο P ώστε PA=5, PB=3, PC=7.

Να δείξετε ότι B\widehat PC=90^\circ. Μπορείτε να γενικεύσετε;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 127
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Καθετότητα σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιούλ 27, 2019 9:29 pm

Καλησπέρα!
Έστω L και N οι ορθές προβολές του P στις BC και AB αντίστοιχα και θέτω LB=x και NB=y. Με πυθαγόρειο στα τρίγωνα PBL, PCL , APN και PLB, αντίστοιχα έχω:
\bullet \,\,\,\,x^{2}=9-y^{2}\,\,\,\,\,(1)
\bullet \,\,\,\,\,y^{2}=49-(a-x)^{2}\,\,\,\,(2)
\bullet \,\,\,\,x^{2}=25-(a-y)^{2}\Leftrightarrow x^{2}=25-a^{2}+2ay-y^{2}\,\,\,\,\,(3)
\bullet\,\,\,\,\, y^{2}=9-x^{2}\,\,\,\,\,(4)
Με αντικατάσταση της (2) στην (1) πέρνουμε x^{2}=9-(49-(a-x)^{2})\Leftrightarrow x^{2}=-40+a^{2}+x^{2}-2ax\Leftrightarrow x=\dfrac{a^{2}-40}{2a}. Με αντικατάσταση της (4) στην (3) πέρνω x^{2}=25-a^{2}+2ay-9+x^{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{a^{2}-16}{2a}
Με πυθαγόρειο στο PLB είναι x^{2}+y^{2}=9\Leftrightarrow \left (\dfrac{a^{2}-40}{2a} \right )^{2}+\left ( \dfrac{a^{2}-16}{2a} \right )^{2}=9\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{4}-74a^{2}+928=0 με θετικές λύσεις τις a=4 και a=\sqrt{58}, με την a=4 να απορρίπτεται απο την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο PCB. Τώρα με αντίστροφο του Πυθαγορείου προκύπτει ότι το τρίγωνο PCB είναι ορθογώνιο.
Για την γενίκευση: Θέτοντας PB=k,PA=\dfrac{5}{3}\cdot k και PC=\dfrac{7}{3}\cdot k και δουλεύοντας όπως πρίν, προκύπτει ότι το τρίγωνο PCB είναι ορθογώνιο.
Καθετότητα σε τετράγωνο.PNG
Καθετότητα σε τετράγωνο.PNG (15.11 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
Υ.Σ: Το σκεπτικό είναι παρόμοιο με του Πρόδρομου εδώ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7200
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα σε τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 28, 2019 12:09 pm

καθετότητα σε τετράγωνο_Oritzin_1.png
καθετότητα σε τετράγωνο_Oritzin_1.png (20.37 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Έστω BT \bot  = BP τότε τα τρίγωνα PAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TCB είναι ίσα . Από το Θ. συνημίτονου στο PTC είναι :

\boxed{\cos \theta  = \frac{{18 + 49 - 15}}{{2 \cdot 3\sqrt 2  \cdot 7}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}} , άρα η οξεία γωνία \widehat \theta  = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {BPC} = 90^\circ


Γενικά αρκεί ,2P{B^2} + P{C^2} - P{A^2} = 2PB \cdot PC \Leftrightarrow {(PC - PB)^2} + P{B^2} = P{A^2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης