Η "κακιά" γωνία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8521
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Η "κακιά" γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 02, 2019 4:33 pm

Εύκολη γωνία.png
Εύκολη γωνία.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές
Στο σχήμα η AD είναι διάμεσος του τριγώνου ABC. Υπολογίστε με όποιο τρόπο θέλετε την "κακιά" γωνία B\widehat AD=\theta.


ΥΓ Την έβαλα σε αυτό το φάκελο για να καλύπτει μεγαλύτερο αριθμό λύσεων.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η "κακιά" γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 02, 2019 5:08 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 4:33 pm
Εύκολη γωνία.png
Στο σχήμα η AD είναι διάμεσος του τριγώνου ABC. Υπολογίστε με όποιο τρόπο θέλετε την "κακιά" γωνία B\widehat AD=\theta.


ΥΓ Την έβαλα σε αυτό το φάκελο για να καλύπτει μεγαλύτερο αριθμό λύσεων.
Η κακιά γωνία.png
Η κακιά γωνία.png (26.35 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές
Ας είναι Eτο σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου BC με την AC.

Προφανώς :

1. Το \vartriangle DEB είναι ισόπλευρο

2. Το \vartriangle EAD \to (150^\circ ,15^\circ ,15^\circ )

3. Το \vartriangle EAB \to (90^\circ ,45^\circ ,45^\circ )

Άρα \boxed{\widehat \theta  = 30^\circ }.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Αύγ 02, 2019 7:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η "κακιά" γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 02, 2019 5:28 pm

Η κακιά γωνία_1.png
Η κακιά γωνία_1.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές
Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC κι έστω K το κέντρο του .

Επειδή το τρίγωνο KAB είναι ισόπλευρο και KD ( ως απόστημα) κάθετη στη BC το τετράπλευρο ABDK είναι χαρταετός , οπότε \widehat \theta  = 30^\circ .

Παρατήρηση : έλαβα υπ όψη και το έμμεσο κριτήριο ισότητας για τα τρίγωνα, AKD,ABD


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η "κακιά" γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 02, 2019 6:20 pm

Η κακιά γωνία_2.png
Η κακιά γωνία_2.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές
Έστω K η προβολή του D στην AC και M το μέσο του AC .

Επειδή MD//AB \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = \widehat \omega }\,\,(1) . Θέτω KD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KM = y.

Επειδή στο \vartriangle DBC η γωνία στο C είναι διπλάσια της γωνίας στο A θα έχω:

D{A^2} - D{C^2} = AC \cdot DC\,\,(2) ενώ από το δεύτερο θ. διαμέσων στο ίδιο τρίγωνο :

D{A^2} - D{C^2} = 2AC \cdot KM\,\,\,(3) . Λόγω της (2) η (3) δίδει : 2y = DC .

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο KDC και αφού \widehat C = 30^\circ θα είναι 2x = DC .

Έτσι θα έχω ταυτόχρονα: \left\{ \begin{gathered} 
  2x = DC \hfill \\ 
  2y = DC \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow x = y \Rightarrow \,\,\vartriangle KMD \to (90^\circ ,45^\circ ,45^\circ ) , άρα \boxed{\widehat \theta  = 30^\circ }


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2694
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Η "κακιά" γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 02, 2019 6:58 pm

Γεια σου Νίκο.
Στην πρώτη ανάρτηση στο 2 έχεις τυπογραφικό.

Για να δούμε μια λύση με Β Λυκείου.
Στο σχήμα του Γιώργου.
Με τριγωνομετρία βρίσκουμε την γωνία.
Πάμε αντίστροφα.
Παίρνουμε το Bώστε να είναι \angle BAD=30
Θα δείξουμε ότι BD=\frac{1}{2}BC
Αν BK είναι το ύψος τότε AB=\sqrt{2}BK=\frac{\sqrt{2}}{2}BC(1)
Αλλά λόγω των γωνιών η AB εφάπτεται του κύκλου που περνάει από τα A,D,C
Από δύναμη σημείου έχουμε ότι
AB^{2}=BD.BC
Η τελευταία μαζί με την (1) δίνουν
BD=\frac{1}{2}BC
ετσι το D είναι μέσο τουBC


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η "κακιά" γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 02, 2019 7:20 pm

Η κακιά γωνία_3.png
Η κακιά γωνία_3.png (30.61 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Ας είναι H το συμμετρικό του D ως προς την AC.

Θα είναι έτσι το τρίγωνο HDC ισόπλευρο και άρα , HD = DB = DC \Rightarrow \widehat {BHC} = 90^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {AHB} = 135^\circ  - 90^\circ  = 45^\circ .

Δηλαδή το τετράπλευρο ABDH είναι εγγράψιμο , οπότε \widehat \theta  = \widehat \omega  = 30^\circ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8521
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η "κακιά" γωνία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 04, 2019 6:17 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 5:08 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 4:33 pm
Εύκολη γωνία.png
Στο σχήμα η AD είναι διάμεσος του τριγώνου ABC. Υπολογίστε με όποιο τρόπο θέλετε την "κακιά" γωνία B\widehat AD=\theta.


ΥΓ Την έβαλα σε αυτό το φάκελο για να καλύπτει μεγαλύτερο αριθμό λύσεων.
Η κακιά γωνία.png

Ας είναι Eτο σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου BC με την AC.

Προφανώς :

1. Το \vartriangle DEB είναι ισόπλευρο

2. Το \vartriangle EAD \to (150^\circ ,15^\circ ,15^\circ )

3. Το \vartriangle EAB \to (90^\circ ,45^\circ ,45^\circ )

Άρα \boxed{\widehat \theta  = 30^\circ }.
Αν ήταν να βραβεύσω μία λύση του σαρωτικού Νίκου, θα διάλεγα αυτήν :clap2:

Δύο λύσεις με ύλη Β Λυκείου έχω αναρτήσει εδώ(george_54) εκ των οποίων η μία μοιάζει με του Σταύρου.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1130
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Η "κακιά" γωνία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Αύγ 04, 2019 8:10 pm

1.png
1.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Με πλευρά την AD κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο APD και φέρνω το τμήμα PC.

Προφανώς \angle DAC=15^{0}\Rightarrow \angle CAP=45^{0}.

Επειδή \angle ACD=30^{0}, έπεται ότι το P είναι το περίκεντρο του τριγώνου ACD.

Οπότε PA=PC.

Ονομάζω τη K τη προβολή του P στην AC.

Το K είναι μέσο της AC.

Άρα KD\parallel AB.

Όμως η DK είναι μεσοκάθετος του AP (αφού KA=KP).

Επομένως \angle KDA=30^{0}.

Συνεπώς \theta =30^{0}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης