Σελίδα 1 από 1

Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 02, 2019 7:10 pm
από Μιχάλης Νάννος
shape.png
shape.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB = 13,\,BC = 6 και \angle C = 3\angle A = 3\omega . Φέρουμε το ύψος BD και ζητείται ο λόγος \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{x}{y}

(Προαιρετικά, υπολογίστε ξεχωριστά τα x,y)

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 02, 2019 9:15 pm
από angvl
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα έχουμε:

\displaystyle \triangle ABC : \frac{6}{\sin\omega}=\frac{13}{\sin3\omega}\Rightarrow

\displaystyle 13\sin\omega-6\sin3\omega=0\Rightarrow

\displaystyle 13\sin\omega-6(3\sin\omega-4\sin^3\omega)=0\Rightarrow ...

\displaystyle \sin^2\omega=\frac{5}{24} \Rightarrow \cos^2\omega=\frac{19}{24}

\displaystyle \triangle BDC : \cos3\omega=\frac{y}{6} \Rightarrow y=6cos3\omega=6(4\cos^3\omega-3\cos\omega)

\displaystyle \triangle ABD : \cos\omega=\frac{x}{13} \Rightarrow x=13\cos\omega

Συνεπώς

\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{13}{6}\cdot \frac{\cos\omega}{\cos\omega\cdot(4\cos^2\omega-3)} \Rightarrow...

\displaystyle \frac{x}{y}= 13 :diablo:

Αρα

\displaystyle x=13\sqrt{\frac{19}{24}}

\displaystyle y=\sqrt{\frac{19}{24}}

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 02, 2019 11:44 pm
από Doloros
Κατασκευή.

Έστω τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα AC και ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο P του οποίου \boxed{\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{13}}{6}}.

Ο κύκλος αυτός τέμνει το τμήμα AC στο E. Γράφω το κύκλο (E,EC) που τέμνει τη μεσοκάθετο του AC στο T.

Η ημιευθεία AT τέμνει τον Απολλώνιο κύκλο σε δύο σημεία το πρώτο εκ των οποίων έστω B.

Στο τρίγωνο ABC ( χωρίς κατ’ ανάγκη να είναι CA = 13\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB = 6) ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{13}}{6} \hfill \\ 
  \frac{{TB}}{{TA}} = \frac{6}{7} \hfill \\ 
  \widehat {BTC} = \widehat {BCT} = 2\widehat A = 2\widehat \omega  \hfill \\ 
  \widehat {BCA} = 3\widehat A \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Γρουσούζικος Λόγος_1.png
Γρουσούζικος Λόγος_1.png (29.08 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Υπολογισμός.

Έστω M το μέσο του AC = AE + EC = 13k + 6k = 19k\,\,,k > 0. Αν BD το ύψος του τριγώνου BAC θα είναι

MD = \dfrac{6}{7}AM = \dfrac{{3 \cdot 19k}}{7} \Rightarrow x = \dfrac{{19k}}{{14}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = DC = 19k - x = \dfrac{{13 \cdot 19k}}{{14}} και άρα \boxed{\dfrac{x}{y} = 13}.

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 03, 2019 11:19 am
από Doloros
Γρουσούζικος Λόγος_2.png
Γρουσούζικος Λόγος_2.png (24.86 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Θ. Μενελάου στο ισοσκελές τρίγωνο TAC με διατέμνουσα \overline {BSD} .

\boxed{\frac{{TB}}{{BA}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{{CS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{{13}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{1}{6} = 1 \Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = 13}

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 03, 2019 5:05 pm
από george visvikis
Doloros έγραψε:
Σάβ Αύγ 03, 2019 11:19 am
Γρουσούζικος Λόγος_2.png


Θ. Μενελάου στο ισοσκελές τρίγωνο TAC με διατέμνουσα \overline {BSD} .

\boxed{\frac{{TB}}{{BA}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{{CS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{{13}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{1}{6} = 1 \Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = 13}
Απλά και όμορφα :clap2:

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 04, 2019 10:23 am
από george visvikis
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 7:10 pm
shape.pngΔίνεται τρίγωνο ABC με AB = 13,\,BC = 6 και \angle C = 3\angle A = 3\omega . Φέρουμε το ύψος BD και ζητείται ο λόγος \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{x}{y}

(Προαιρετικά, υπολογίστε ξεχωριστά τα x,y)
Καλημέρα σε όλους!

Είναι \boxed{x = 13\cos \omega} και με κριτήριο καθετότητας \displaystyle {x^2} - {y^2} = {13^2} - {6^2} \Leftrightarrow \boxed{(x+y)(x-y)=133} (1)
Γρουσούζικος λόγος.png
Γρουσούζικος λόγος.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές
Θεωρώ σημείο E της AB ώστε B\widehat CE=\omega. Τότε τα τρίγωνα ABC, CBE είναι όμοια:

\displaystyle \frac{6}{{EB}} = \frac{{13}}{6} = \frac{{x + y}}{{CE}} \Rightarrow EB = \frac{{36}}{{13}}, οπότε \displaystyle AE = \frac{{133}}{{13}} και \displaystyle CE = \frac{{6(x + y)}}{{13}}

Νόμος ημιτόνων στο ACE: \displaystyle \frac{{CE}}{{\sin \omega }} = \frac{{AE}}{{\sin 2\omega }} \Leftrightarrow \frac{{6(x + y)}}{{13}} = \frac{{133}}{{26\cos \omega }} = \frac{{133}}{{2x}} \Leftrightarrow (x + y) = \frac{{133 \cdot 13}}{{12x}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)}

\displaystyle \frac{{13(x - y)}}{{12x}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\frac{x}{y}=13}

Λύνοντας τώρα το σύστημα \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
x = 13y\\ 
\\ 
{x^2} - {y^2} = 133 
\end{array} \right. βρίσκω \boxed{x = 13\sqrt {\frac{{19}}{{24}}} ,y = \sqrt {\frac{{19}}{{24}}} }

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 05, 2019 8:24 am
από Μιχάλης Νάννος
Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Ουσιαστικά η όμορφη κίνηση του Νίκου με Θαλή αντί για Μενέλαο.
shape-sol.png
shape-sol.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές
Αν η μεσοκάθετη της AC τμήσει την AB στο E, τότε…\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{13k}}{k} = 13

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 05, 2019 9:03 am
από george visvikis
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Αύγ 05, 2019 8:24 am
Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Ουσιαστικά η όμορφη κίνηση του Νίκου με Θαλή αντί για Μενέλαο.shape-sol.png
Αν η μεσοκάθετη της AC τμήσει την AB στο E, τότε…\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{13k}}{k} = 13
Όσα ξέρει ο νοικοκύρης ... :clap2:

Re: Γρουσούζικος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 05, 2019 11:36 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 7:10 pm
shape.pngΔίνεται τρίγωνο ABC με AB = 13,\,BC = 6 και \angle C = 3\angle A = 3\omega . Φέρουμε το ύψος BD και ζητείται ο λόγος \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{x}{y}

(Προαιρετικά, υπολογίστε ξεχωριστά τα x,y)

Με \displaystyle M μέσον της \displaystyle AB και \displaystyle \angle ACE = \omega είναι, \displaystyle CE//MD και \displaystyle BE = BC = 6,άρα \displaystyle EM = \frac{1}{2}

Έτσι, \displaystyle \boxed{\frac{x}{y} = \frac{{AM}}{{ME}} = 13} και \displaystyle B{D^2} = 36 - {y^2} = 169 - 169{y^2} \Rightarrow \boxed{y = \sqrt {\frac{{19}}{{24}}} } \Rightarrow \boxed{x = 13\sqrt {\frac{{19}}{{24}}} }
γρουσούζικος λόγος.png
γρουσούζικος λόγος.png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές