Τρίγωνο-122.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-122.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm

Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=10, BC=22 και \angle B=2\angle C.
Βρείτε το εμβαδόν του.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Τρίγωνο-122.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Αύγ 22, 2019 10:01 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=10, BC=22 και \angle B=2\angle C.
Βρείτε το εμβαδόν του.

Είναι \displaystyle{\hat{\rm A} + \hat{\rm B} +\hat{\Gamma} = \pi \Rightarrow \hat{\rm A} + 3 \hat{\Gamma} = \pi}. Από το νόμο ημιτόνων είναι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{\alpha}{\sin \hat{\rm A}} = \frac{\beta}{\sin \hat{\rm B}} = \frac{\gamma}{\sin \Gamma}  &\Rightarrow \frac{{\rm B \Gamma}}{\sin \hat{\rm A}} = \frac{\mathrm{AB}}{\sin \hat{\Gamma}}\\  
 &\Rightarrow \frac{22}{\sin \left ( \pi - 3 \hat{\Gamma} \right )} = \frac{10}{\sin \hat{\Gamma}} \\  
 &\Rightarrow \frac{22}{\sin 3\hat{\Gamma}} = \frac{10}{\sin \hat{\Gamma}} \\ 
 &\Rightarrow \frac{22}{\sin \hat{\Gamma} \left ( 2 \cos 2 \hat{\Gamma} +1 \right ) } = \frac{10}{\sin \hat{\Gamma}} \\ 
 &\Rightarrow 22 = 10 \left ( 2 \cos 2 \hat{\Gamma} + 1 \right ) \\ 
 &\Rightarrow 12 = 20 \cos 2 \hat{\Gamma} \\ 
 &\Rightarrow \frac{3}{5} = \cos \hat{\rm B} 
\end{aligned}}
Άρα \displaystyle{\sin \hat{\rm B} = \sqrt{1- \cos^2 \hat{\rm B}} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}}. Συνεπώς,


\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{A} &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 22 \cdot \sin \hat{\rm B} \\  
 &=10 \cdot 11 \cdot \frac{4}{5} \\ 
 &= 2 \cdot 4 \cdot 11\\ 
 &= 88 \quad \text{\gr τ.μ} 
\end{aligned}}
Ελπίζω μη χάνω τίποτα!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 114
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Τρίγωνο-122.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Αύγ 22, 2019 10:08 pm

emvadon.png
emvadon.png (111.71 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
Καλησπέρα! Απο νόμο ημιτόνων στο \displaystyle \triangle ABC:

\displaystyle \frac{10}{\sin C}=\frac{22}{\sin 3C} \Rightarrow 10\sin 3C-22\sin C = 0 \Rightarrow 10(3\sin C - 4\sin^3 C) -22\sin C=0 \Rightarrow

\displaystyle -5\sin^3 C+\sin C=0 \Rightarrow \sin C(-5\sin^2 C+1)=0 \Rightarrow \sin^2 C = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos^2 C = \frac{4}{5}

Αρα

\displaystyle \sin B = \sin 2C = 2 \sin C\cos\ C = 2 (\frac{\sqrt{5}}{5}) ( \frac{2\sqrt{5}}{5}) =\frac{4}{5} επομένως το εμβαδό του τριγώνου θα είναι ίσο με \displaystyle E = \frac{1}{2}ac\sin B =.. = 88 τ.μ

(με πρόλαβαν.. το αφήνω για τον κόπο)


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Τρίγωνο-122.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Αύγ 22, 2019 10:12 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=10, BC=22 και \angle B=2\angle C.
Βρείτε το εμβαδόν του.
shape.png
shape.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές
Παίρνοντας σημείο D \in BC:AD = AB = 10 η άσκηση ξεκλειδώνει.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Τρίγωνο-122.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Πέμ Αύγ 22, 2019 10:23 pm

Καλησπέρα!
Απο την πρόταση KARKAR ;) (βλέπε εδώ), έχουμε : AC^{2}=AB^{2}+AB\cdot BC=100+220=320\Leftrightarrow AC=\sqrt{320}=8\sqrt{5}
Απο Ήρωνα τώρα έχουμε \left ( ABC \right ) = \left (\left ( 16+4\sqrt{5}\left \right )\left ( 6+4\sqrt{5} \right )\left ( 4\sqrt{5}-6 \right )\left ( 16-4\sqrt{5} \right ) \right ) ^{1/2} = \sqrt{\left ( 256-80 \right )\left ( 80 -36\right )}= \sqrt{176\cdot 44}=88

Υ.Σ: Την πρώτη ρίζα στον Ήρωνα την έβαλα σε μορφή δύναμης γιατι... κανείς δεν τα βάζει με το Latex :lol:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο-122.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 22, 2019 11:18 pm

Κατασκευή.

Θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα BC = 22 και στη προέκτασή του προς το B, τμήμα

BD = 10. Γράφω ημικύκλιο (B,10) που η μεσοκάθετος του DC το τέμνει στο A.

Το \vartriangle ABC είναι αυτό που θέλουμε .
τρίγωνο 122.png
τρίγωνο 122.png (23.9 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Απόδειξη

Αν η μεσοκάθετος που έφερα κόψει το DC στο M θα είναι :

\widehat C = \widehat D = \widehat \theta  \Rightarrow \widehat {ABC} = 2\widehat \theta  = 2\widehat C και AB = 10\,\,,\,\,BC = 22

Υπολογισμός

Επειδή DM = MC = 16 \Rightarrow BM = 16 - 10 = 6 \Rightarrow MA = 8 και άρα

\boxed{\left( {ABC} \right) = \frac{1}{2}BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 8 = 88}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1803
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τρίγωνο-122.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Αύγ 23, 2019 12:40 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=10, BC=22 και \angle B=2\angle C.
Βρείτε το εμβαδόν του.
Η BD είναι διχοτόμος της γωνίας B και\hat{DBC}=\hat{C}=\omega ,\hat{ADB}=2\omega ,, απο το θεώρημα της διχοτόμου \dfrac{b-\delta _{b}}{10}=\dfrac{\delta _{b}}{22}\Leftrightarrow 11b=16\delta _{b},(1)
Από τα όμοια τρίγωνα ABD,ABC,\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow 50=b(b-\delta _{b}),(2), (1),(2)\Rightarrow b=8\sqrt{5},\delta _{b}=\dfrac{11\sqrt{5}}{2},
\dfrac{AN}{DL}=\dfrac{b}{\delta _{b}},DL=\dfrac{11}{2},AN=8,(ABC)=\dfrac{1}{2}.22.8=88\tau .\mu



Γιάννης
Συνημμένα
Τρίγωνο 122.png
Τρίγωνο 122.png (34.76 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο-122.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 23, 2019 9:18 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=10, BC=22 και \angle B=2\angle C.
Βρείτε το εμβαδόν του.
Έστω AM η διάμεσος.
Τρίγωνο 122.png
Τρίγωνο 122.png (9.27 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
\displaystyle (ABM) = (ACM) \Leftrightarrow \frac{{10 \cdot 11\sin 2\theta }}{2} = \frac{{11x\sin \theta }}{2} \Leftrightarrow x = 20\cos \theta

Ν. συνημιτόνων στο ABC, \displaystyle 400{\cos ^2}\theta  = 100 + 584 - 440(2{\cos ^2}\theta  - 1) \Leftrightarrow \cos \theta  = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\sin \theta  = \frac{1}{{\sqrt 5 }}

\displaystyle (ABC) = 110\sin 2\theta  = 220 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \boxed{(ABC)=88}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο-122.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 23, 2019 10:34 am

τρίγωνο 122_oritzin_1.png
τρίγωνο 122_oritzin_1.png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
Μια χωρίς λόγια


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο-122.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Αύγ 24, 2019 12:19 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=10, BC=22 και \angle B=2\angle C.
Βρείτε το εμβαδόν του.
Με AD \bot BC,AH \bot BE είναι, AB=BH=10,HC=12 και  \hat{DAH} =C οπότε u^2=y  \big(y+12\big) =4x^2-y^2

Αλλά 2x^2=10y   \Rightarrow x^2=5y ,άρα y=4,x= \sqrt{20} και u=8. Έτσι, \big(ABC\big)=8 . 22 /2=88
T.122.png
T.122.png (45.69 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες