Τρίγωνο-122.

Φανης Θεοφανιδης · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

και $\angle B=2\angle C$ .
Βρείτε το εμβαδόν του.

Tolaso J Kos · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο με και $\angle B=2\angle C$ .
Βρείτε το εμβαδόν του.

Είναι $\displaystyle{\hat{\rm A} + \hat{\rm B} +\hat{\Gamma} = \pi \Rightarrow \hat{\rm A} + 3 \hat{\Gamma} = \pi}$ . Από το νόμο ημιτόνων είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\alpha}{\sin \hat{\rm A}} = \frac{\beta}{\sin \hat{\rm B}} = \frac{\gamma}{\sin \Gamma} &\Rightarrow \frac{{\rm B \Gamma}}{\sin \hat{\rm A}} = \frac{\mathrm{AB}}{\sin \hat{\Gamma}}\\ &\Rightarrow \frac{22}{\sin \left ( \pi - 3 \hat{\Gamma} \right )} = \frac{10}{\sin \hat{\Gamma}} \\ &\Rightarrow \frac{22}{\sin 3\hat{\Gamma}} = \frac{10}{\sin \hat{\Gamma}} \\ &\Rightarrow \frac{22}{\sin \hat{\Gamma} \left ( 2 \cos 2 \hat{\Gamma} +1 \right ) } = \frac{10}{\sin \hat{\Gamma}} \\ &\Rightarrow 22 = 10 \left ( 2 \cos 2 \hat{\Gamma} + 1 \right ) \\ &\Rightarrow 12 = 20 \cos 2 \hat{\Gamma} \\ &\Rightarrow \frac{3}{5} = \cos \hat{\rm B} \end{aligned}}$
Άρα $\displaystyle{\sin \hat{\rm B} = \sqrt{1- \cos^2 \hat{\rm B}} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}}$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{A} &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 22 \cdot \sin \hat{\rm B} \\ &=10 \cdot 11 \cdot \frac{4}{5} \\ &= 2 \cdot 4 \cdot 11\\ &= 88 \quad \text{\gr τ.μ} \end{aligned}}$
Ελπίζω μη χάνω τίποτα!!

angvl · #3

: emvadon.png (111.71 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές

Καλησπέρα! Απο νόμο ημιτόνων στο $\displaystyle \triangle ABC:$

$\displaystyle \frac{10}{\sin C}=\frac{22}{\sin 3C} \Rightarrow 10\sin 3C-22\sin C = 0 \Rightarrow 10(3\sin C - 4\sin^3 C) -22\sin C=0 \Rightarrow$

$\displaystyle -5\sin^3 C+\sin C=0 \Rightarrow \sin C(-5\sin^2 C+1)=0 \Rightarrow \sin^2 C = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos^2 C = \frac{4}{5}$

Αρα

$\displaystyle \sin B = \sin 2C = 2 \sin C\cos\ C = 2 (\frac{\sqrt{5}}{5}) ( \frac{2\sqrt{5}}{5}) =\frac{4}{5}$ επομένως το εμβαδό του τριγώνου θα είναι ίσο με $\displaystyle E = \frac{1}{2}ac\sin B =.. = 88$ τ.μ

(με πρόλαβαν.. το αφήνω για τον κόπο)

Ιστοσελίδα · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο με και $\angle B=2\angle C$ .
Βρείτε το εμβαδόν του.

: shape.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Παίρνοντας σημείο $D \in BC:AD = AB = 10$ η άσκηση ξεκλειδώνει.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Καλησπέρα!
Απο την πρόταση KARKAR

(βλέπε εδώ), έχουμε : $AC^{2}=AB^{2}+AB\cdot BC=100+220=320\Leftrightarrow AC=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$
Απο Ήρωνα τώρα έχουμε $\left ( ABC \right ) = \left (\left ( 16+4\sqrt{5}\left \right )\left ( 6+4\sqrt{5} \right )\left ( 4\sqrt{5}-6 \right )\left ( 16-4\sqrt{5} \right ) \right ) ^{1/2} = \sqrt{\left ( 256-80 \right )\left ( 80 -36\right )}= \sqrt{176\cdot 44}=88$

Υ.Σ: Την πρώτη ρίζα στον Ήρωνα την έβαλα σε μορφή δύναμης γιατι... κανείς δεν τα βάζει με το Latex

#6

Κατασκευή.

Θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα BC = 22

και στη προέκτασή του προς το

, τμήμα

. Γράφω ημικύκλιο (B,10)

που η μεσοκάθετος του

το τέμνει στο

.

Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλουμε .

: τρίγωνο 122.png (23.9 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές

Απόδειξη

Αν η μεσοκάθετος που έφερα κόψει το

στο

θα είναι :

$\widehat C = \widehat D = \widehat \theta \Rightarrow \widehat {ABC} = 2\widehat \theta = 2\widehat C$ και $AB = 10\,\,,\,\,BC = 22$

Υπολογισμός

Επειδή $DM = MC = 16 \Rightarrow BM = 16 - 10 = 6 \Rightarrow MA = 8$ και άρα

$\boxed{\left( {ABC} \right) = \frac{1}{2}BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 8 = 88}$

STOPJOHN · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο με και $\angle B=2\angle C$ .
Βρείτε το εμβαδόν του.

Η

είναι διχοτόμος της γωνίας

και $\hat{DBC}=\hat{C}=\omega ,\hat{ADB}=2\omega ,$ , απο το θεώρημα της διχοτόμου $\dfrac{b-\delta _{b}}{10}=\dfrac{\delta _{b}}{22}\Leftrightarrow 11b=16\delta _{b},(1)$
Από τα όμοια τρίγωνα $ABD,ABC,\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow 50=b(b-\delta _{b}),(2), (1),(2)\Rightarrow b=8\sqrt{5},\delta _{b}=\dfrac{11\sqrt{5}}{2},$
$\dfrac{AN}{DL}=\dfrac{b}{\delta _{b}},DL=\dfrac{11}{2},AN=8,(ABC)=\dfrac{1}{2}.22.8=88\tau .\mu$

Γιάννης

#8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο με και $\angle B=2\angle C$ .
Βρείτε το εμβαδόν του.

Έστω

η διάμεσος.

: Τρίγωνο 122.png (9.27 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

$\displaystyle (ABM) = (ACM) \Leftrightarrow \frac{{10 \cdot 11\sin 2\theta }}{2} = \frac{{11x\sin \theta }}{2} \Leftrightarrow x = 20\cos \theta$

Ν. συνημιτόνων στο ABC,

$\displaystyle 400{\cos ^2}\theta = 100 + 584 - 440(2{\cos ^2}\theta - 1) \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\sin \theta = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

$\displaystyle (ABC) = 110\sin 2\theta = 220 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC)=88}$

#9

: τρίγωνο 122_oritzin_1.png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Μια χωρίς λόγια

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 9:01 pm
Δίνεται τρίγωνο με και $\angle B=2\angle C$ .
Βρείτε το εμβαδόν του.

Με $AD \bot BC,AH \bot BE$ είναι, AB=BH=10,HC=12

και $\hat{DAH} =C$ οπότε $u^2=y \big(y+12\big) =4x^2-y^2$

Αλλά $2x^2=10y \Rightarrow x^2=5y$ ,άρα $y=4,x= \sqrt{20}$ και u=8

. Έτσι, $\big(ABC\big)=8 . 22 /2=88$

: T.122.png (45.69 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Τρίγωνο-122.

Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Re: Τρίγωνο-122.

Μέλη σε σύνδεση