Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άθροισμα ίσο με γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 25, 2019 8:04 pm

Άθροισμα ίσο με γινόμενο.png
Άθροισμα ίσο με γινόμενο.png (8.67 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές
Από σημείο D της πλευράς AB ισοσκελούς τριγώνου ABC με AB=AC=b, φέρνουμε παράλληλη στην BC

που τέμνει την AC στο E και έστω M τυχαίο σημείο του τμήματος DE. Οι CM, BM τέμνουν τις AB, AC στα

P, Q αντίστοιχα. Να εντοπίσετε το σημείο D αν BP+CQ=BP\cdot CQ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5418
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Αύγ 25, 2019 9:57 pm

Στο σχήμα που ακολουθεί επιχείρησα μία καθαρή γεωμετρική κατασκευή του D, μέ βάση την κατασκευή πρώτα του M.
Ας δούμε βέβαια καταρχάς την περίπτωση {v^2}=b.
ΚΑΤ.png
ΚΑΤ.png (36.24 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5418
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Αύγ 26, 2019 1:45 pm

Στο σχήμα που ακολουθεί επιχείρησα μία καθαρά γεωμετρική κατασκευή του D, μέ βάση την κατασκευή πρώτα του M.
Ας δούμε βέβαια καταρχάς την περίπτωση {v^2}=q\neq b, έστω BZ=q. Δηλαδή αν θέλουμε BP+CQ=BP\cdot  CQ=q.
ΚΑΤ 1..png
ΚΑΤ 1..png (32.46 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Αύγ 26, 2019 7:29 pm

Με οριακά σημεία αν BD = x προκύπτει: b + x = bx \Rightarrow \boxed{x = \frac{b}{{b - 1}}} .

Τώρα όμως θα πρέπει να δείξω ότι για κάθε M του ευθυγράμμου τμήματος

DE ισχύει BP + CQ = BP \cdot CQ \Leftrightarrow \dfrac{{BP + CQ}}{{BP \cdot CQ}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{1}{{BP}} + \dfrac{1}{{CQ}} = 1}\,\,\,(1)

Για ευκολία πράξεων θέτω: BP = u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQ = v ,

Φέρνω την AM που τέμνει την BC στο F. Είναι :\left\{ \begin{gathered} 
  AE = b - \dfrac{b}{{b - 1}} = \dfrac{{{b^2} - 2b}}{{b - 1}} \hfill \\ 
  EC = \dfrac{b}{{b - 1}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Αθροισμα ίσο με γινόμενο.png
Αθροισμα ίσο με γινόμενο.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές
Άρα \dfrac{{AM}}{{MF}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{{b^2} - 2b}}{b} = b - 2\,\,\,(2) . Αλλά από το Θ. Van\,\,Aubel

\dfrac{{AM}}{{MF}} = \dfrac{{AP}}{{PB}} + \dfrac{{AQ}}{{QC}} = \dfrac{{b - u}}{u} + \dfrac{{b - v}}{v} = \dfrac{b}{u} + \dfrac{b}{v} - 2\,\,(3) που λόγω της (2) δίδει

\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = 1 δηλαδή ισχύει η (1) και αυτό που θέλαμε το δείξαμε.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5418
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Αύγ 26, 2019 9:01 pm

Θα ήθελα εδώ να αναφερθώ αναφορικά με την γεωμετρική κατασκευή που ασχολήθηκα και κύρια για τους νεότερους, τον καθοριστικό ρόλο της μονάδας μέτρησης που εδώ την συμβόλισα με 1. Άρα η δεδομένη από τον κατασκευαστή ισότητα σε επίπεδο τμημάτων αν το πρώτο μέλος δεν το θεωρούσαμε πολλαπλασιασμένο επί την μονάδα μέτρησης 1, θα είχαμε μήκος ίσον με εμβαδόν.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5418
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Αύγ 27, 2019 6:38 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Αύγ 25, 2019 8:04 pm
Άθροισμα ίσο με γινόμενο.png
Από σημείο D της πλευράς AB ισοσκελούς τριγώνου ABC με AB=AC=b, φέρνουμε παράλληλη στην BC
που τέμνει την AC στο E και έστω M τυχαίο σημείο του τμήματος DE. Οι CM, BM τέμνουν τις AB, AC στα
P, Q αντίστοιχα. Να εντοπίσετε το σημείο D αν BP+CQ=BP\cdot CQ.
Αν και ο Νίκος έδωσε την άριστη λύση, ας δούμε τώρα και την διαπραγμάτευση, για το κυρίως θέμα του Γιώργου, που ακολουθεί:

Ευθύ: Έστω ότι υπάρχει DE παράλληλη στην BC τέτοια που για το τυχόν σημείο της M έχουμε τις
BQ\;\,\left( {Q = BM \cap AC} \right),\quad CP\,\;\left( {P = CM \cap AB} \right) με PB + QC = PB \cdot QC.
Τότε έχουμε \displaystyle{DB = EC \Rightarrow \frac{{DM}}{{BC}} = \frac{{PB - DB}}{{PB}}\;{\kappa \alpha \iota }}\;\frac{{EM}}{{BC}} = \frac{{QC - DB}}{{QC}}.}
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε \displaystyle{\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{2PB \cdot QC - DB\left( {PB + QC} \right)}}{{PB \cdot QC}} ή \displaystyle{\frac{{b - DB}}{2} = 2 - DB άρα έχουμε \displaystyle{DB = \frac{b}{{b - 1}}.}}}

Αντίστροφο: Για το τυχόν σημείο M της συγκεκριμένης πλέον παράλληλης DE όταν \displaystyle{DB = \frac{b}{{b - 1}},} προκύπτει ότι \displaystyle{\frac{{b - \frac{b}{{b - 1}}}}{b} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{DM}}{{BC}} + \frac{{QE}}{{QC}} \Rightarrow } \displaystyle{1 - \frac{1}{{b - 1}} = \frac{{PB - \frac{b}{{b - 1}}}}{{PB}} + \frac{{QC - \frac{b}{{b - 1}}}}{{QC}} \Rightarrow } \displaystyle{1 - \frac{1}{{b - 1}} = 2 - \frac{b}{{b - 1}}\left( {\frac{1}{{PB}} + \frac{1}{{QC}}} \right) \Rightarrow 1=\frac{1}{{PB}} + \frac{1}{{QC}}} \right) \Rightarrow PB + QC = PB \cdot QC.}


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης