Άθροισμα ίσο με γινόμενο

#1

: Άθροισμα ίσο με γινόμενο.png (8.67 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

Από σημείο

της πλευράς

ισοσκελούς τριγώνου ABC

με

φέρνουμε παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

και έστω

τυχαίο σημείο του τμήματος DE.

Οι

τέμνουν τις AB, AC

στα

αντίστοιχα. Να εντοπίσετε το σημείο

αν $BP+CQ=BP\cdot CQ.$

S.E.Louridas · #2

Στο σχήμα που ακολουθεί επιχείρησα μία καθαρή γεωμετρική κατασκευή του

μέ βάση την κατασκευή πρώτα του

Ας δούμε βέβαια καταρχάς την περίπτωση ${v^2}=b$ .

: ΚΑΤ.png (36.24 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

S.E.Louridas · #3

Στο σχήμα που ακολουθεί επιχείρησα μία καθαρά γεωμετρική κατασκευή του

μέ βάση την κατασκευή πρώτα του

Ας δούμε βέβαια καταρχάς την περίπτωση ${v^2}=q\neq b$ , έστω BZ=q.

Δηλαδή αν θέλουμε $BP+CQ=BP\cdot CQ=q.$

: ΚΑΤ 1..png (32.46 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

#4

Με οριακά σημεία αν BD = x

προκύπτει: $b + x = bx \Rightarrow \boxed{x = \frac{b}{{b - 1}}}$ .

Τώρα όμως θα πρέπει να δείξω ότι για κάθε

του ευθυγράμμου τμήματος

ισχύει $BP + CQ = BP \cdot CQ \Leftrightarrow \dfrac{{BP + CQ}}{{BP \cdot CQ}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{1}{{BP}} + \dfrac{1}{{CQ}} = 1}\,\,\,(1)$

Για ευκολία πράξεων θέτω: $BP = u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQ = v$ ,

Φέρνω την

που τέμνει την

στο

. Είναι : $\left\{ \begin{gathered} AE = b - \dfrac{b}{{b - 1}} = \dfrac{{{b^2} - 2b}}{{b - 1}} \hfill \\ EC = \dfrac{b}{{b - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Αθροισμα ίσο με γινόμενο.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Άρα $\dfrac{{AM}}{{MF}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{{b^2} - 2b}}{b} = b - 2\,\,\,(2)$ . Αλλά από το Θ. $Van\,\,Aubel$

$\dfrac{{AM}}{{MF}} = \dfrac{{AP}}{{PB}} + \dfrac{{AQ}}{{QC}} = \dfrac{{b - u}}{u} + \dfrac{{b - v}}{v} = \dfrac{b}{u} + \dfrac{b}{v} - 2\,\,(3)$ που λόγω της (2)

δίδει

$\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = 1$ δηλαδή ισχύει η (1)

και αυτό που θέλαμε το δείξαμε.

S.E.Louridas · #5

Θα ήθελα εδώ να αναφερθώ αναφορικά με την γεωμετρική κατασκευή που ασχολήθηκα και κύρια για τους νεότερους, τον καθοριστικό ρόλο της μονάδας μέτρησης που εδώ την συμβόλισα με

Άρα η δεδομένη από τον κατασκευαστή ισότητα σε επίπεδο τμημάτων αν το πρώτο μέλος δεν το θεωρούσαμε πολλαπλασιασμένο επί την μονάδα μέτρησης

, θα είχαμε μήκος ίσον με εμβαδόν.

S.E.Louridas · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 25, 2019 8:04 pm
Άθροισμα ίσο με γινόμενο.png
Από σημείο της πλευράς ισοσκελούς τριγώνου με φέρνουμε παράλληλη στην
που τέμνει την στο και έστω τυχαίο σημείο του τμήματος Οι τέμνουν τις στα
αντίστοιχα. Να εντοπίσετε το σημείο αν $BP+CQ=BP\cdot CQ.$

Αν και ο Νίκος έδωσε την άριστη λύση, ας δούμε τώρα και την διαπραγμάτευση, για το κυρίως θέμα του Γιώργου, που ακολουθεί:

Ευθύ: Έστω ότι υπάρχει

παράλληλη στην

τέτοια που για το τυχόν σημείο της

έχουμε τις
$BQ\;\,\left( {Q = BM \cap AC} \right),\quad CP\,\;\left( {P = CM \cap AB} \right)$ με $PB + QC = PB \cdot QC.$
Τότε έχουμε $\displaystyle{DB = EC \Rightarrow \frac{{DM}}{{BC}} = \frac{{PB - DB}}{{PB}}\;{\kappa \alpha \iota }}\;\frac{{EM}}{{BC}} = \frac{{QC - DB}}{{QC}}.}$
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε $\displaystyle{\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{2PB \cdot QC - DB\left( {PB + QC} \right)}}{{PB \cdot QC}}$ ή $\displaystyle{\frac{{b - DB}}{2} = 2 - DB$ άρα έχουμε $\displaystyle{DB = \frac{b}{{b - 1}}.}}}$

Αντίστροφο: Για το τυχόν σημείο

της συγκεκριμένης πλέον παράλληλης

όταν $\displaystyle{DB = \frac{b}{{b - 1}},}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\frac{{b - \frac{b}{{b - 1}}}}{b} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{DM}}{{BC}} + \frac{{QE}}{{QC}} \Rightarrow }$ $\displaystyle{1 - \frac{1}{{b - 1}} = \frac{{PB - \frac{b}{{b - 1}}}}{{PB}} + \frac{{QC - \frac{b}{{b - 1}}}}{{QC}} \Rightarrow }$ $\displaystyle{1 - \frac{1}{{b - 1}} = 2 - \frac{b}{{b - 1}}\left( {\frac{1}{{PB}} + \frac{1}{{QC}}} \right) \Rightarrow 1=\frac{1}{{PB}} + \frac{1}{{QC}}} \right) \Rightarrow PB + QC = PB \cdot QC.}$

Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Re: Άθροισμα ίσο με γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση