Πόσο μεγάλο εμβαδόν

Eustathia p. · #1

Σε τρίγωνο ABC

η διάμεσος

είναι κάθετος στη πλευρά

. Υπάρχει σημείο

στην

με

και $\widehat {AMB} = \widehat {AMD}$ .

Πόσο μεγάλο μπορεί να γίνει το εμβαδόν του τριγώνου ABC

;

#2

Eustathia p. έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2019 5:44 pm
Σε τρίγωνο η διάμεσος είναι κάθετος στη πλευρά . Υπάρχει σημείο στην με και $\widehat {AMB} = \widehat {AMD}$ .

Πόσο μεγάλο μπορεί να γίνει το εμβαδόν του τριγώνου ;

άρα το ζητούμενο εμβαδόν μεγιστοποιείται, όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του ABM,

όταν δηλαδή είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Θέτω AB=AM=x,

οπότε $BM=MC=x\sqrt 2.$

: Πόσο μεγάλο εμβαδόν.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Με θεώρημα διαμέσων βρίσκω $AC=x\sqrt 5$ και με Πυθαγόρειο στο $MDC, DC=\sqrt{4+2x^2}.$

Νόμος συνημιτόνων στο ADM:

$\displaystyle {\left( {x\sqrt 5 - \sqrt {4 + 2{x^2}} } \right)^2} = 4 + {x^2} - 2x\sqrt 2 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {(x - 3\sqrt 2 )^2} = 0 \Leftrightarrow$

$\boxed{x=3\sqrt 2}}$ και $\displaystyle (ABC) = 2(ABM) = {x^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{{(ABC)_{\max }} = 18}$

Altrian · #3

Καλημέρα,

Με δεδομένη την εύρεση της θέσης του μεγίστου εμβαδού από τον Γιώργο (George Visvikis) μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό με βάση το σχήμα και ως εξής:
$AN=\dfrac{3}{2}*2=3\Rightarrow FM=2*3=6=MC$ . Ετσι (ABC)=(FMC)=6*6/2=18

STOPJOHN · #4

Eustathia p. έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 27, 2019 5:44 pm
Σε τρίγωνο η διάμεσος είναι κάθετος στη πλευρά . Υπάρχει σημείο στην με και $\widehat {AMB} = \widehat {AMD}$ .

Πόσο μεγάλο μπορεί να γίνει το εμβαδόν του τριγώνου ;

Το τρίγωνο BMS

είναι ισοσκελές εφόσον $MA\perp BA,\hat{BMA}=\hat{AMS}=\omega$ ,συνεπως $MB=MC=MS=\dfrac{a}{2},$
$(ABC)=2(ABM)=c.\mu _{a},$
Από τα όμοια τρίγωνα $MAD,DSC,\dfrac{2}{DS}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AM}{SC}=\dfrac{1}{2},AM=\dfrac{SC}{2}, SC^{2}=a^{2}-4c^{2},$ ,Δηλαδή $DS=4,MS=6=\dfrac{a}{2},a=12, (ABC)=c.\sqrt{36-c^{2}}$ , και με παραγώγους $c=3\sqrt{2},(ABC)_{max}=18$

Γιάννης

Πόσο μεγάλο εμβαδόν

Πόσο μεγάλο εμβαδόν

Re: Πόσο μεγάλο εμβαδόν

Re: Πόσο μεγάλο εμβαδόν

Re: Πόσο μεγάλο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση