Εμβαδόν περίκυκλου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εμβαδόν περίκυκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Σεπ 22, 2019 2:03 am

Καλημέρα σε όλους.Τις ευχές μου στον συντονιστή του φακέλου , Στάθη Κούτρα για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με ΥΓΕΙΑ!
Εμβαδόν περίκυκλου.PNG
Εμβαδόν περίκυκλου.PNG (8.78 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές
Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD η διαγώνιος BD είναι διάμετρος του περίκυκλου ενώ η AC διχοτόμος της \widehat{A}.

Οι AC,BD τέμνονται στο E. Αν είναι AE=\sqrt{2} cm και \left ( ABCD \right )=16 cm^{2} τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του περίκυκλου αυτού. Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9332
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 22, 2019 10:04 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Σεπ 22, 2019 2:03 am
Καλημέρα σε όλους.Τις ευχές μου στον συντονιστή του φακέλου , Στάθη Κούτρα για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με ΥΓΕΙΑ!
Εμβαδόν περίκυκλου.PNG
Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD η διαγώνιος BD είναι διάμετρος του περίκυκλου ενώ η AC διχοτόμος της \widehat{A}.

Οι AC,BD τέμνονται στο E. Αν είναι AE=\sqrt{2} cm και \left ( ABCD \right )=16 cm^{2} τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του περίκυκλου αυτού. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο!
Εμβαδόν περίκυκλου.png
Εμβαδόν περίκυκλου.png (16 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές


\displaystyle 12\pi c{m^2}

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Σεπ 22, 2019 4:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7201
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Σεπ 22, 2019 3:08 pm

Θέτω : CB = CD = x\,\,,\,\,AB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = b\,\,,\,\,EC = u.

Θ Πτολεμαίου στο ABCD: ax + by = x\sqrt 2 \left( {u + \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \boxed{a + b = 2 + u\sqrt 2 }\,\,(1)

Με ύψωση στο τετράγωνο έχω:

{a^2} + {b^2} + 2ab = {\left( {2 + u\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow 2{x^2} + 2ab = {\left( {2 + u\sqrt 2 } \right)^2} .

Αλλά , ab + {x^2} = 32 και έτσι η προηγούμενη δίδει : \boxed{u = 3\sqrt 2 }, ενώ η (1) , \boxed{a + b = 8}
Εμβαδόν περίλυκλου.png
Εμβαδόν περίλυκλου.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
Θ. διχοτόμου στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD
Λήμμα_εμβαδόν περ'ικυκλου.png
Λήμμα_εμβαδόν περ'ικυκλου.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
( σαν άσκηση αφήνω το γιατί) : \dfrac{{b\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a + b}}{a} \Rightarrow \boxed{ab = a + b = 8}

Μετά απ’ αυτά βρίσκω εύκολα : a = 4 + 2\sqrt 2 \,\,\,,\,\,b = 4 - 2\sqrt 2 \,\,\,,BD = 4\sqrt 3 \,\,,R = 2\sqrt 3

\boxed{E = 12\pi }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9332
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 22, 2019 4:29 pm

Έστω DE=x. Αν R είναι η ακτίνα του κύκλου. τότε CD=CB=R\sqrt 2 και EB=2R-x.

\displaystyle (ABCD) =  (CDB) + (ADB) = 16 \Leftrightarrow {R^2} + \frac{{AD \cdot AB}}{2} = 16 \Leftrightarrow \boxed{AD\cdot AB=32-R^2} (1)
Εμβαδόν περίκυκλου.ΙΙ.png
Εμβαδόν περίκυκλου.ΙΙ.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ADC, ACB έχω:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
2{R^2} = A{D^2} + A{C^2} - AD \cdot AC\sqrt 2 \\ 
\\ 
2{R^2} = A{B^2} + A{C^2} - AB \cdot AC\sqrt 2  
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \oplus  4{R^2} = 4{R^2} + 2A{C^2} - (AD + AB)AC\sqrt 2  \Leftrightarrow

\displaystyle 2AC = (AD + AB)\sqrt 2  \Rightarrow 2A{C^2} = A{D^2} + A{B^2} + 2AB \cdot AD\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} A{C^2} = 2{R^2} + 32 - 2{R^2} \Leftrightarrow

\displaystyle AC = 4\sqrt 2 και EC=3\sqrt 2, οπότε \boxed{x(2R-x)= AE\cdot EC=12} (2)

Με θεώρημα \displaystyle {\rm{Stewart}} στο CDB,  2{R^2}x + 2{R^2}(2R - x) = 36 + 2Rx(2R - x)\mathop  \Rightarrow \limits^{(2)}

\displaystyle 4{R^2} = 36 + 12 \Leftrightarrow R = 2\sqrt 3 και το ζητούμενο εμβαδόν είναι \boxed{{E_k} = 12\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Σεπ 22, 2019 5:17 pm

Καλησπέρα σε όλους,

(ABD)=(ABE)+(AED)=\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}\Rightarrow (ABD)^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2ab}{4}=\dfrac{4R^{2}+4(ABD)}{4}

\Rightarrow (ABD)^{2}-(ABD)-R^{2}=0\Rightarrow (ABD)=\dfrac{1+\sqrt{1+4R^{2}}}{2}

Εχουμε όμως ότι: (ABD)+(BCD)=16\Rightarrow \dfrac{1+\sqrt{1+4R^{2}}}{2}+R^{2}=16\Rightarrow ...\Rightarrow R^{2}=12.

Και τέλος το ζητούμενο εμβαδό του περίκυκλου είναι: \pi*R^{2}=12\pi
Συνημμένα
εμβαδο περικυκλου.png
εμβαδο περικυκλου.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Σεπ 26, 2019 11:44 pm

Χαιρετώ.Γιώργο, Νίκο και Αλέξανδρε σας ευχαριστώ για τις εξαιρετικές λύσεις!
εμβαδόν περίκυκλου ΙΙ.PNG
εμβαδόν περίκυκλου ΙΙ.PNG (6.95 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
Αφορμή για τη δημιουργία του παρόντος ήταν ΑΥΤΟ το θέμα που μας δίνει \left (AB+AD  \right )^{2}=4\left ( ABCD \right )\Rightarrow AB+AD=8.

Από τον τύπο για την διχοτόμο ορθής παίρνουμε AE=\dfrac{AB\cdot AD\sqrt{2}}{AB+AD}\Rightarrow AB\cdot AD=8.

Έτσι BD^{2}=\left (AB+AD  \right )^{2} -2AB\cdot AD \Rightarrow BD^{2}=48 και E_{k}=\pi \cdot BD^{2}/4=12\pi  cm^{2}. Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης