Γεωμετρικός τόπος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Γεωμετρικός τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Δευ Νοέμ 04, 2019 10:59 pm

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=AC. Έστω M εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αν D,E,F τα ίχνη των προβολών του σημείου M στις πλευρές BC, AC και AB αντίστοιχα, να βρείτε [μέθοδος της 'Ανάλυσης/Σύνθεσης/Κατασκευής/Απόδειξης'] το Γεωμετρικό τόπο του σημείου M έτσι ώστε MD=ME+MF.
τελευταία επεξεργασία από J K σε Τρί Νοέμ 05, 2019 5:15 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12130
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γεωμετρικός τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 04, 2019 11:14 pm

J K έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:59 pm
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=BC. Έστω M εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αν D,E,F τα ίχνη των προβολών του σημείου Μ στις πλευρές BC, AC και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε [μέθοδος της 'Ανάλυσης/Σύνθεσης/Κατασκευής/Απόδειξης'] το Γεωμετρικό τόπο του σημείου M.
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Μήπως λείπει κάτι από την εκφώνηση; Πέρα από το AB στην τρίτη πρόταση, που λείπει από τυπογραφική αβλεψία, τι ακριβώς ζητά η άσκηση αφού δεν δόθηκαν συνθήκες/περιορισμοί; Το M επιλέχθηκε τυχαία στο εσωτερικό του τριγώνου, οπότε για ποιον γεωμετρικό τόπο συζητάμε;


J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Δευ Νοέμ 04, 2019 11:23 pm

Καλησπέρα! Από αβλεψία δεν προστέθηκε η ιδιότητα που θέλουμε για το M. Επίσης, απ'οτι πρόσεξα, τα ελληνικά δεν υποστηρίζονται σε περιβάλλον *tex*
:oops:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12130
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γεωμετρικός τόπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 05, 2019 12:18 am

J K έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:59 pm
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=BC. Έστω M εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αν D,E,F τα ίχνη των προβολών του σημείου M στις πλευρές BC, AC και AB αντίστοιχα, να βρείτε [μέθοδος της 'Ανάλυσης/Σύνθεσης/Κατασκευής/Απόδειξης'] το Γεωμετρικό τόπο του σημείου M έτσι ώστε MD=ME+MF.
Η άσκηση είναι αρκετά απλή για να χρειάζεται Ανάλυση/Σύνθεση/Κατασκευή/Απόδειξη. Χρησιμοποιούμε το γεγονός (απλό και γνωστό) ότι το άθροισμα των αποστάσεων σημείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι σταθερό και ίσο με το ύψος από κορυφή της βάσης,

Φέρνουμε από το M παράλληλη KL της βάσης, με K στην AB και L στην AC. Αν G,H οι προβολές του K στις BC, AC, αντίστοιχα, έχουμε KG=MD=MF+ME=KH. Άρα το K είναι στην διχοτόμο από το C. Ανάλογα το L.

Με άλλα λόγια, φέρνουμε τις εν λόγω διχοτόμους. Έστω ότι τέμνουν τα ίσα σκέλη στα K,L. Τότε το KL είναι ο ζητούμενος τόπος. Η απόδειξη άμεση.


J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Τρί Νοέμ 05, 2019 1:03 am

Θα πρέπει να αναφέρουμε βέβαια ότι έκανες χρήση του ότι το τρίγωνο AKL είναι ισσκελές.

Η ερώτησή μου είναι ότι χωρίς να θεωρήσουμε γνωστό το αποτέλεσμα που χρησιμοποίησες, πώς μπορεί ενας μαθητής να εικάσει το Γ.Τ.?
τελευταία επεξεργασία από J K σε Τρί Νοέμ 05, 2019 1:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Τρί Νοέμ 05, 2019 1:05 am

Θα πρέπει να αναφέρουμε βέβαια ότι έκανες χρήση του ότι το τρίγωνο AKL είναι ισσκελές.

Η ερώτησή μου είναι ότι χωρίς να θεωρήσουμε γνωστό το αποτέλεσμα που χρησιμοποίησες, πώς μπορεί ενας μαθητής να εικάσει το Γ.Τ.?


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικός τόπος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 05, 2019 2:04 am

Πολύ σωστά τα έγραψε ο Κ. Λάμπρου

Δείτε και το σχετικό σχήμα.


Ανάλυση :

Για κάθε σημείο M του τόπου φέρνω από το M παράλληλη στην BC που τέμνει τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L. Προφανώς AK = AL
Γεωμετρικός τόπος_1.png
Γεωμετρικός τόπος_1.png (23.28 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές
Επειδή \left( {AKL} \right) = \left( {AKM} \right) + \left( {AML} \right) \Leftrightarrow AK \cdot d = AK \cdot z + AL \cdot y . Άρα

d = z + y συνεπώς : \boxed{x = d}

Προφανώς η BL είναι διχοτόμος της \widehat {ABC} και ο τόπος είναι τα εσωτερικά του ευθυγράμμου τμήματος LK παραλλήλου στην BC από το σταθερό L.


J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Τρί Νοέμ 05, 2019 2:43 pm

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρικός τόπος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 05, 2019 4:49 pm

J K έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:59 pm
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=BC. Έστω M εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αν D,E,F τα ίχνη των προβολών του σημείου M στις πλευρές BC, AC και AB αντίστοιχα, να βρείτε [μέθοδος της 'Ανάλυσης/Σύνθεσης/Κατασκευής/Απόδειξης'] το Γεωμετρικό τόπο του σημείου M έτσι ώστε MD=ME+MF.
Αν δεν υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση (AB=AC αντί AB=BC), τότε έχει λυθεί άλλη άσκηση. Ο γεωμετρικός τόπος είναι πάλι ευθεία, συγκεκριμένα το τμήμα PS, όπου BP, CS διχοτόμοι. Αν ο θεματοδότης επιβεβαιώσει την εκφώνηση, θα δώσω τη λύση.


J K
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 04, 2019 10:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από J K » Τρί Νοέμ 05, 2019 5:16 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 4:49 pm
J K έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:59 pm
Αν δεν υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση (AB=AC αντί AB=BC), τότε έχει λυθεί άλλη άσκηση. Ο γεωμετρικός τόπος είναι πάλι ευθεία, συγκεκριμένα το τμήμα PS, όπου BP, CS διχοτόμοι. Αν ο θεματοδότης επιβεβαιώσει την εκφώνηση, θα δώσω τη λύση.
Δώσε τη λύση σου


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικός τόπος

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 05, 2019 5:28 pm

J K έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:59 pm
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=AC. Έστω M εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αν D,E,F τα ίχνη των προβολών του σημείου M στις πλευρές BC, AC και AB αντίστοιχα, να βρείτε [μέθοδος της 'Ανάλυσης/Σύνθεσης/Κατασκευής/Απόδειξης'] το Γεωμετρικό τόπο του σημείου M έτσι ώστε MD=ME+MF.
Αυτή είναι η πρώτη εκφώνηση μετά τις διορθώσεις, του Θεματοδότη


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρικός τόπος

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 05, 2019 5:49 pm

Μετά τη διόρθωση δεν υπάρχει πρόβλημα. Η άσκηση λύθηκε κανονικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες