Διχοτόμηση από παραλληλία.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Διχοτόμηση από παραλληλία.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω N το μέσον της πλευράς του AC και D, τυχόν σημείο επί της BC. Στην προέκταση της BC προς το μέρος του C λαμβάνουμε σημείο E ώστε να είναι CE = BD και ας είναι M, το σημείο επί της EN ώστε να είναι DM\parallel BN. Αποδείξτε ότι EM = MZ, όπου Z\equiv AD\cap EN .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.
Συνημμένα
f 22_t 66067.PNG
Διχοτόμηση από παραλληλία.
f 22_t 66067.PNG (14.14 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Παρ Ιαν 10, 2020 3:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 10, 2020 3:24 pm

vittasko έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω N το μέσον της πλευράς του AC και D, τυχόν σημείο επί της BC. Στην προέκταση της BC προς το μέρος του C λαμβάνουμε σημείο E ώστε να είναι CE = BD και ας είναι M, το σημείο επί της EN ώστε να είναι DM\parallel BN. Αποδείξτε ότι EM = MZ, όπου Z\equiv AD\cap EN .

Κώστας Βήττας.
207.PNG
207.PNG (21.96 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές
Καλησπέρα!

Έστω ότι η παράλληλη από το D στην EN τέμνει την AC στο L και F\equiv AC\cap DM
Θέτω BD=x.Είναι BN//DF\Leftrightarrow \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{NF}{NC}\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{NF}{\dfrac{b}{2}}\Leftrightarrow NF=\dfrac{bx}{2a}
Επίσης
DL//EN\Leftrightarrow \dfrac{CL}{CN}=\dfrac{DC}{CE}\Leftrightarrow \dfrac{CL}{\dfrac{b}{2}}=\dfrac{a-x}{x}\Leftrightarrow CL=\dfrac{b\left ( a-x \right )}{2x}\Leftrightarrow NL=CL+CN=\dfrac{\,\,\,\,ab-bx}{2x}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{ab}{2x}
Έχουμε λοιπόν NF\cdot NL=\dfrac{bx}{2a}\cdot \dfrac{ab}{2x}=\dfrac{b^2}{4}=NC^2 το οποίο από το θεώρημα Newton σημαίνει ότι (A,C/F,L)=-1 και αφού ZE//DL θα είναι MZ=ME.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 10, 2020 4:10 pm

vittasko έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω N το μέσον της πλευράς του AC και D, τυχόν σημείο επί της BC. Στην προέκταση της BC προς το μέρος του C λαμβάνουμε σημείο E ώστε να είναι CE = BD και ας είναι M, το σημείο επί της EN ώστε να είναι DM\parallel BN. Αποδείξτε ότι EM = MZ, όπου Z\equiv AD\cap EN .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.
Μία εντός φακέλου:

Έστω K το μέσο του DC,τότε θα είνα και μέσον του BE.Θέτω BD=CE=x.
Είναι DM//BN\Leftrightarrow \dfrac{ME}{MN}=\dfrac{DE}{DB}\Leftrightarrow ME=\dfrac{a}{x}MN και KN//AD\Leftrightarrow \dfrac{NE}{ZN}=\dfrac{KE}{KD}\Leftrightarrow \dfrac{MN+\dfrac{a}{x}MN}{ZM-MN}=\dfrac{\dfrac{a+x}{2}}{\dfrac{a-x}{2}}\Leftrightarrow \dfrac{MN\cdot \dfrac{a+x}{x}}{MZ-MN}=\dfrac{a+x}{a-x}\Leftrightarrow \\\,\,.. \Leftrightarrow MZ-MN=\dfrac{MN\left ( a-x \right )}{x}\Leftrightarrow MZ=MN\left ( \dfrac{a-x}{x}+1 \right )=MN\cdot \dfrac{a}{x}=ME


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9327
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 10, 2020 5:33 pm

vittasko έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω N το μέσον της πλευράς του AC και D, τυχόν σημείο επί της BC. Στην προέκταση της BC προς το μέρος του C λαμβάνουμε σημείο E ώστε να είναι CE = BD και ας είναι M, το σημείο επί της EN ώστε να είναι DM\parallel BN. Αποδείξτε ότι EM = MZ, όπου Z\equiv AD\cap EN .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.
Έστω P το σημείο τομής των AD, BN.
Διχ-Παρ.png
Διχ-Παρ.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
Μενέλαος στο ADC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {ZNE}: \displaystyle \frac{{AN}}{{NC}} \cdot \frac{{EC}}{{ED}} \cdot \frac{{DZ}}{{ZA}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{ZA}}{{ZD}} = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{BD}}{{DE}} = \frac{{MN}}{{ME}}} (1)

Ομοίως με Μενελάου στο ίδιο τρίγωνο με διατέμνουσα \displaystyle \overline {BPN} , \displaystyle \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{DP}}{{DZ}} = \frac{{MN}}{{MZ}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{ME=MZ}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4005
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιαν 10, 2020 10:15 pm

vittasko έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω N το μέσον της πλευράς του AC και D, τυχόν σημείο επί της BC. Στην προέκταση της BC προς το μέρος του C λαμβάνουμε σημείο E ώστε να είναι CE = BD και ας είναι M, το σημείο επί της EN ώστε να είναι DM\parallel BN. Αποδείξτε ότι EM = MZ, όπου Z\equiv AD\cap EN .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.
Διχοτόμηση από παραλληλία.png
Διχοτόμηση από παραλληλία.png (33.12 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές
Έστω F το σημείο τομής της εκ του A παραλλήλου προς την BC με την EZ .
Τότε με N το μέσο της AC\Rightarrow AF=\parallel CE\overset{CE=\parallel BD}{\mathop{\Rightarrow }}\,AF=\parallel BD\Rightarrow BF\parallel AD και N το μέσο (και της FE)

Από DM\parallel BN\Rightarrow \dfrac{EM}{EN}=\dfrac{ED}{EB}\overset{DZ\parallel BF}{\mathop{=}}\,\dfrac{EZ}{EF}\overset{EF=2EN}{\mathop{\Rightarrow }}\,EZ=2EM\Rightarrow M μέσο της EZ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Ιαν 11, 2020 1:19 pm

Αλλιώς, στο σχήμα του Στάθη.

Ορίζουμε το σημείο F, ως το συμμετρικό του E ως προς το N και ας είναι K το κοινό μέσον των DC,\ BE.

Τότε, από DZ\parallel KN\parallel BF, στα ομοιόθετα τρίγωνα \vartiangle BEF,\ \vartriangle DEZ, η ευθεία DM είναι διάμεσος στο \vartriangle DEZ, ως ομόλογη της διαμέσου BN στο \vartriangle BE F.

Κώστας Βήττας.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1824
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 12, 2020 2:42 am

vittasko έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω N το μέσον της πλευράς του AC και D, τυχόν σημείο επί της BC. Στην προέκταση της BC προς το μέρος του C λαμβάνουμε σημείο E ώστε να είναι CE = BD και ας είναι M, το σημείο επί της EN ώστε να είναι DM\parallel BN. Αποδείξτε ότι EM = MZ, όπου Z\equiv AD\cap EN .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.
Με H συμμετρικό του B ως προς N  \Rightarrow AH =//BC=//DE \Rightarrow AD//HE

Έτσι, \dfrac{ZM}{ME}= \dfrac{DM}{MP}= \dfrac{BN}{NH}=1 \Rightarrow ZM=ME
Διχοτόμηση από παραλληλία.png
Διχοτόμηση από παραλληλία.png (20 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιαν 12, 2020 3:00 am

Για την Καλημέρα στους φίλους και αγαπητούς, μια άλλη ..μακρύτερη προσπάθεια
Διχοτόμηση ..Κ.Β..PNG
Διχοτόμηση ..Κ.Β..PNG (9.63 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
Το K κοινό μέσον των DC,BE ενώ CH \parallel AD \parallel KN και DQ \parallel AC. Τα τρίγωνα ZAN , NHC είναι ίσα άρα AZ=CH.

Ακόμη \dfrac{PD}{KN}=\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{CH}{KN} οπότε PD=CH=AZ και  \boxed{AP=DZ}.

Έτσι έχουμε διαδοχικά \dfrac{MN}{ME}=\dfrac{x}{x+2y}=\dfrac{QD}{NC}=\dfrac{QD}{AN}=\dfrac{PD}{AP}=\dfrac{PD}{DZ}=\dfrac{MN}{MZ} συνεπώς ME=MZ.
Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιαν 12, 2020 11:35 am

Χαιρετώ και πάλι.Επανέρχομαι για συντομότερη παραλλαγή
Διχοτόμηση ..Κ.Β.. 2.PNG
Διχοτόμηση ..Κ.Β.. 2.PNG (9.77 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
Φέρω και CT \parallel BN \parallel DM. Όπως πριν είναι PD=  \parallel CH οπότε MN=HT ενώ και BD=CE\Rightarrow   MN=TE

άρα MN=HT=TE=s. Από τα ίσα τρίγωνα ZAN,NHC προκύπτει ZN=NH.

Έτσι έχουμε ME=MH+2s αλλά και MZ=ZN+s=NH+s=MH+2s άρα ME=MZ. Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης