Σφηνοειδές ορθογώνιο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σφηνοειδές ορθογώνιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 03, 2020 8:49 pm

Σφηνοειδές  ορθογώνιο.png
Σφηνοειδές ορθογώνιο.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι : AB=30 , AC=8 . Από το μέσο M της AB

φέρουμε κάθετο τμήμα MS , προς την υποτείνουσα BC . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{MS}{AS}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7141
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σφηνοειδές ορθογώνιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 03, 2020 10:23 pm

Σφηνοειδές ορθογώνιο.png
Σφηνοειδές ορθογώνιο.png (20.54 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
\boxed{\frac{{MS}}{{SA}} = \frac{{TM}}{{CM}} = \frac{4}{{17}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σφηνοειδές ορθογώνιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 04, 2020 9:30 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 03, 2020 8:49 pm
Σφηνοειδές ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι : AB=30 , AC=8 . Από το μέσο M της AB

φέρουμε κάθετο τμήμα MS , προς την υποτείνουσα BC . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{MS}{AS}
Έστω SM=x, AS=y. Φέρνω AH\bot BC, οπότε AH=2x.
Σφηνοειδές ορθογώνιο.png
Σφηνοειδές ορθογώνιο.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Από τα όμοια τρίγωνα SBM, ABC παίρνω \displaystyle \frac{x}{8} = \frac{{SB}}{{30}} \Leftrightarrow SB = \frac{{15x}}{4} = SH και με Π. Θ στο AHS,

\displaystyle {y^2} = 4{x^2} + \frac{{225{x^2}}}{{16}} = {\left( {\frac{{17x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{SM}}{{AS}} = \frac{x}{y} = \frac{4}{{17}}}


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 146
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Σφηνοειδές ορθογώνιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τρί Φεβ 04, 2020 9:59 am

σφηνοηδές ορθογώνιο1.png
σφηνοηδές ορθογώνιο1.png (196.55 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Καλημέρα.

Εστω \displaystyle D το μέσο του AS , τότε απ το τρίγωνο \triangle ASB το DM ενώνει δύο μέσα του άρα DM =//\frac{BS}{2} συνεπώς το τρίγωνο \displaystyle \triangle DMS είναι ορθογώνιο στο M.

Το τετράπλευρο \displaystyle CAMS είναι εγγράψιμο γιατί \angle CAB + \angle CSM = 180^0 άρα \angle ACM = \angle DSM ως εγγεγραμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.Συνεπώς τα τρίγωνα \displaystyle \triangle ACM και \triangle DSM είναι όμοια αφού έχουν γωνίες ίσες.

Απ την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων βρίσκουμε ότι \displaystyle \frac{CA}{SM} = \frac{CM}{DS} \Rightarrow  
\dsiplaystyle \frac{8}{MS} = \frac{34}{AS} \Rightarrow \frac{MS}{AS} = \frac{4}{17}


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Σφηνοειδές ορθογώνιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Φεβ 05, 2020 8:25 am

Με Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την υποτείνουσα SB=\sqrt{964}

Από την ομοιότητα των τριγώνων {ABC},MSB

έχουμε cos\widehat{B}=\frac{SB}{15}=\frac{30}{\sqrt{964}} (1) και \frac{MS}{15}=\frac{8}{\sqrt{964}} (2)


Με νόμο συνημιτόνων στο MSB , προκύπτει {AS}=\frac{30\cdot 17}{\sqrt{964}} (3)

Από (2),(3) προκύπτει το ζητούμενο \frac{MS}{AS}=\frac{4}{17}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σφηνοειδές ορθογώνιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Φεβ 05, 2020 9:16 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 03, 2020 8:49 pm
Σφηνοειδές ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι : AB=30 , AC=8 . Από το μέσο M της AB

φέρουμε κάθετο τμήμα MS , προς την υποτείνουσα BC . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{MS}{AS}
Το ASBL είναι παραληλόγραμμο και AS=BL=y,MS=ML=x,,

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ACSM,\hat{ACM}=\hat{ASM}=\hat{SLB}=\omega ,

Από το Π.Θ στο τρίγωνο ACM,CM=17.

cos\omega =\dfrac{8}{17}=\dfrac{2x} {y}

     \Leftrightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{17}
Συνημμένα
Σφηνοειδές ορθογώνιο.png
Σφηνοειδές ορθογώνιο.png (37.7 KiB) Προβλήθηκε 74 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης