Εσωτερικό σημείο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9592
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εσωτερικό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 20, 2020 4:27 pm

Εσωτερικό σημείο..png
Εσωτερικό σημείο..png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Έστω I το έγκεντρο τριγώνου ABC και M, N, P τα μέσα των πλευρών του.

Να δείξετε ότι το I είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου MNP.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εσωτερικό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Φεβ 20, 2020 4:44 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Φεβ 20, 2020 4:27 pm
Εσωτερικό σημείο..png
Έστω I το έγκεντρο τριγώνου ABC και M, N, P τα μέσα των πλευρών του.

Να δείξετε ότι το I είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου MNP.
232.PNG
232.PNG (25.5 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Καλησπέρα !

Έστω AD,BE,CF διχοτόμοι και K,L,T οι τομές τους με τις PN,MP,MN αντίστοιχα.
Στο ABD η BD είναι διχοτόμος άρα \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{c}{\dfrac{ac}{b+c}}=\dfrac{b+c}{a}>1=\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AK}{KD}\Leftrightarrow AI>AK.
Συνεπώς τα A,I ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα σε σχέση με την PN.
Όμοια και για τις άλλες κορυφές το I θα είναι εσωτερικό του MPN.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1195
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εσωτερικό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Φεβ 20, 2020 4:56 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Φεβ 20, 2020 4:27 pm
Εσωτερικό σημείο..png
Έστω I το έγκεντρο τριγώνου ABC και M, N, P τα μέσα των πλευρών του.

Να δείξετε ότι το I είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου MNP.
Αρκεί να δείξουμε ότι r < h_{a}/2 (και αντίστοιχα για τα άλλα ύψη) .Από τους τύπους για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε E=pr=\dfrac{h_{a}}{2}a. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι p > a, που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης