Ισοσκελές & κύκλος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3271
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ισοσκελές & κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Φεβ 26, 2020 5:14 pm

shape.png
shape.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC\,(AB = AC) και σημεία D,E επί της AB. Να βρείτε τη διάμετρο DE του κύκλου (O), που εφάπτεται στις πλευρές BC,AC στα σημεία S,T αντίστοιχα και ισχύει ότι BS = 2,\,AT = 3


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ισοσκελές & κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Φεβ 26, 2020 8:04 pm

Η ακτίνα του κύκλου είναι R=4.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισοσκελές & κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 26, 2020 8:33 pm

νανοδιάμετρος.png
νανοδιάμετρος.png (17.11 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Τέσσερις άγνωστοι , τέσσερις εξισώσεις : z(z+2r)=4 , y(y+2r)=9 ,

2r+y+z=x+3 και : \dfrac{r+y}{r+z}=\dfrac{x+3}{x+2} (από θεώρημα διχοτόμων ) .

Αποτέλεσμα : 2r=8 , y=1 , x=4\phi .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Φεβ 27, 2020 7:49 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ισοσκελές & κύκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τετ Φεβ 26, 2020 9:38 pm

Φέρνω από το O παράλληλη προς την AC και από τα T και A τις παράλληλες προς την BC.
Εύκολα έχω ότι \bigtriangleup OQT=\bigtriangleup SBO\Rightarrow OQ=2.
Από το παραλληλόγραμμο PATQ\Rightarrow QP=3.

Αρα PO=5\Rightarrow OA=5\Rightarrow OT=r=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4
Συνημμένα
ισοσκελες και κυκλος.png
ισοσκελες και κυκλος.png (27.27 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Perantonis
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 2:06 pm

Re: Ισοσκελές & κύκλος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Perantonis » Τετ Φεβ 26, 2020 10:36 pm

Είναι \displaystyle \varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{R}{2}και \displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A} = \frac{R}{3}
Έχουμε \displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A} = \varepsilon \varphi (180 - 2{\rm B}) =  - \varepsilon \varphi 2{\rm B} =  - \frac{{2\varepsilon \varphi {\rm B}}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}{\rm B}}}
Άρα \displaystyle \frac{R}{3} =  - \frac{{2\frac{R}{2}}}{{1 - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow \frac{{{R^2} - 4}}{4} = 3 \Rightarrow R = 4
Συνημμένα
Ναν2.png
Ναν2.png (27.58 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές
τελευταία επεξεργασία από Perantonis σε Πέμ Φεβ 27, 2020 2:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισοσκελές & κύκλος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Φεβ 27, 2020 12:26 am

Καλημέρα σε όλους!. Με οδηγό τη λύση του Αλέξανδρου.
Ισοσκελές και κύκλος.PNG
Ισοσκελές και κύκλος.PNG (10.33 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Φέρω OH \parallel BC.Από τα ίσα τρίγωνα OTH,BOS έπεται TH=2 , τότε OA=AH=5

και με Π.Θ: OT=4 άρα DE=2OT=8.

Παρατήρηση: Βρίσκουμε OH=2\sqrt{5} οπότε και HC=OB=2\sqrt{5}

με συνέπεια \dfrac{CT}{TO}=\dfrac{2+2\sqrt{5}}{4}=\Phi (αυτό το αναφέρει έμμεσα και ο Θανάσης πριν). \Phi ιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7130
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές & κύκλος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Φεβ 27, 2020 2:07 am

Iσοσκελές και κύκλος.png
Iσοσκελές και κύκλος.png (20.7 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές
Ας είναι K το κέντρο του κύκλου .

Έστω σημείο F του SC με SF = AT = 3. Προφανές ότι τα ορθογώνια τρίγωνα

TAK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SFK\, είναι ίσα . Έτσι τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FKA είναι όμοια , οπότε και

το τρίγωνο FKA είναι ισοσκελές με κορυφή το F , άρα

m = KF = FB = 2 + 3 = 5 \Rightarrow \boxed{R = 4}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές & κύκλος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 27, 2020 10:26 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Φεβ 26, 2020 5:14 pm
shape.pngΔίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC\,(AB = AC) και σημεία D,E επί της AB. Να βρείτε τη διάμετρο DE του κύκλου (O), που εφάπτεται στις πλευρές BC,AC στα σημεία S,T αντίστοιχα και ισχύει ότι BS = 2,\,AT = 3
Έστω AM το ύψος και CK η διχοτόμος του τριγώνου. Θέτω CS=CT=x. Λόγω της παραλληλίας KS||AM και της διχοτόμου, είναι:
Ισοσκελές και κύκλος.png
Ισοσκελές και κύκλος.png (14.68 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
\displaystyle \frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} = \frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{BS}}{{SM}} = \frac{2}{{\frac{{x + 2}}{2} - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 16 = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{x > 0} x = 2 + 2\sqrt 5

Εύκολα τώρα βρίσκω KA=5 και \boxed{R=4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες