Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3294
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Μαρ 08, 2020 6:49 pm

shape.jpg
shape.jpg (54.48 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές
Το ABCD είναι τετράγωνο κέντρου O και το ABE ορθογώνιο τρίγωνο στο E. Αν η απόσταση OE = a\,cm, να βρείτε το εμβαδόν του AOBE συναρτήσει του a


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5530
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μαρ 08, 2020 7:53 pm

Γιά ένα γειά στον Άριστο Μαθηματικό και φίλο Μιχάλη.
Το hide θα αποσυρθεί μετά την επόμενη ανάρτηση.
Το πανέμορφο αυτό θέμα αυτό πράγματι είναι για να κινεί την σκέψη:

"Κολάμε" το ορθογώνιο τρίγωνο OAO', O' σημείο της AE στο ορθογώνιο ίσο του ορθογώνιο τρίγωνο O''B, O'' σημείο της EB, άρα δημιουργείται ισοδύναμο τετράγωνο, οπότε αρκεί να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου EO'OO'' με διαγώνιο το a που είναι \frac{a^2}{2}


edit: Άρση του hide
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Κυρ Μαρ 08, 2020 9:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Μαρ 08, 2020 8:16 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Μαρ 08, 2020 6:49 pm
shape.jpgΤο ABCD είναι τετράγωνο κέντρου O και το ABE ορθογώνιο τρίγωνο στο E. Αν η απόσταση OE = a\,cm, να βρείτε το εμβαδόν του AOBE συναρτήσει του a
Έστω b η πλευρά του τετραγώνου.Είναι AE^2+EB^2=b^2 \,\,\,(*).Επιπλέον από το θεώρημα Πτολεμαίου για το εγγράψιμο AOBE θα είναι \dfrac{b\sqrt{2}}{2}\left ( AE+EB \right )=ab\Leftrightarrow AE+EB=a\sqrt{2}\Leftrightarrow AE^2+EB^2+2AE\cdot BE=2a^2\,\,\,\,\,\,(**)
Οπότε οι (*),(**) με αφαίρεση δίνουν 2AE\cdot EB=2a^2-b^2.
\left ( AOBE \right )=\left ( AOB \right )+\left ( AEB \right )=\dfrac{1}{2}\left ( AE\cdot EB+\dfrac{b^2}{2} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{2a^2-b^2}{2}+\dfrac{b^2}{2} \right )=\dfrac{a^2}{2}


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Μαρ 08, 2020 8:17 pm

εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png
εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (73.05 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Καλησπέρα. Από "πτολεμα'ί'δα" :) με αγάπη έχουμε :

\displaystyle (AB)(OE) = (AO)(BE) + (OB)(AE) \Rightarrow ba = \frac{b}{\sqrt{2}}(BE + AE) \Rightarrow BE + AE = a\sqrt{2}

\displaystyle (AOBE) = (AOE) + (BOE) = \frac{(AO)(OE)(AE)}{4R} + \frac{(BO)(BE)(OE)}{4R} = \frac{a}{2\sqrt{2}}(BE + AE)  =

\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{2}}a\sqrt{2} \displaystyle \Rightarrow (AOBE) = \frac{a^2}{2}

Με πρόλαβε ο Πρόδρομος! Το αφήνω για το σχήμα.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Μαρ 08, 2020 8:34 pm

εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png
εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (96.06 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές
Βάζω ένα σχήμα για αυτό που έγραψε ο κ. Λουρίδας!

(Σημ. Η γωνία ΑΕΒ είναι ορθή)


Καλό Καλοκαίρι!
Altrian
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Μαρ 08, 2020 9:01 pm

(AOBE)=\dfrac{(EFGH)}{4}=(EOF)=\dfrac{a^{2}}{2}
Συνημμένα
εμβαδο ειδικου τετραπλευρου.png
εμβαδο ειδικου τετραπλευρου.png (26.45 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1084
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Κυρ Μαρ 08, 2020 11:18 pm

ειδικό τετράπλευρο 2C.png
ειδικό τετράπλευρο 2C.png (33.38 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές
AK και BI κάθετες στην EO

EBOA εγγράψιμο και \angle OEB =\angle AEO=45^0. Συνεπώς τα τα ορθογώνια τρίγωνα EBI, AKE έχουμε 
EI=IB και KE=KA

Επίσης από τα ίσα τρίγωνα AKO, BIO (Έχουν AO=OB, \angle KAO=\angle IOB (οξείες με πλευρές καθέτους) και είναι ορθογώνια).

Άρα AK=OI και KO=BI

Επομένως BI+AK=EI+IO=a Είναι τώρα

(EBOA)=(AEO)+(EBO)=\frac{1}{2} a\cdot AK+\frac{1}{2} a\cdot BI=\frac{1}{2}a \cdot a=\frac{1}{2}a^2


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7535
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 09, 2020 12:13 am

Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png
Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (16.94 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

Αγνοώ το τετράγωνο ABCD και κατασκευάζω το τετράγωνο EFST που κάθε του πλευρά είναι το άθροισμα : \boxed{AE + EB = k + m}.

Επειδή \widehat {OEB} = 45^\circ το σημείο O είναι το κέντρο αυτού του τετραγώνου

Με διαγωνίους ES = FT = 2a. Προφανώς : \vartriangle TOA = \vartriangle OEB οπότε θα είναι και ισεμβαδικά .

Έτσι \boxed{\left( {AEBO} \right) = \left( {OTE} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}}

Βλέπω πιο πάνω και τον αγαπητό Αλέξανδρο (Τριανταφυλλάκη) να "Κινείται" στο ίδιο "μήκος κύματος " .

Είναι τιμή μου αφού οι λύσεις του Αλεξάνδρου είναι πάντα, Λακωνικές και οξυδερκείς.

Επίσης η άσκηση, ελαφρώς παραλλαγμένη, υπάρχει και στο ημερολόγιο της Ελένης Μήτσιου ( Μαθηματική βιβλιοθήκη έκδοση από το μακαρίτη Χ. Βαφειάδη το 1998)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7535
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 09, 2020 2:10 am

Σχηματίζω το τετράγωνο, πλευράς a, OELK που επειδή \widehat {OEA} = 45^\circ η EA είναι φορέας της διαγωνίου του EK.

Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου_new.png
Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου_new.png (21.26 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές
Πάλι : \boxed{\left( {AEBO} \right) = \left( {AEO} \right) + \left( {OEB} \right) = \left( {AEO} \right) + \left( {OKA} \right) = \left( {OKE} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 09, 2020 11:07 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Μαρ 08, 2020 6:49 pm
shape.jpgΤο ABCD είναι τετράγωνο κέντρου O και το ABE ορθογώνιο τρίγωνο στο E. Αν η απόσταση OE = a\,cm, να βρείτε το εμβαδόν του AOBE συναρτήσει του a
Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα!

Θέτω EB=x, AE=y, AO=OB=b. Από τα θεωρήματα Πτολεμαίου, έχω:
Εμβ.Ειδ.Τετρ..png
Εμβ.Ειδ.Τετρ..png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
bx + by = ab\sqrt 2 \\ 
\\ 
\dfrac{{b\sqrt 2 }}{a} = \dfrac{{by + bx}}{{xy + {b^2}}} 
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{a}{{xy + {b^2}}} \Leftrightarrow xy + {b^2} = a^2} \Leftrightarrow \boxed{(AOBE)=\frac{a^2}{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1906
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 09, 2020 12:53 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Μαρ 08, 2020 6:49 pm
shape.jpgΤο ABCD είναι τετράγωνο κέντρου O και το ABE ορθογώνιο τρίγωνο στο E. Αν η απόσταση OE = a\,cm, να βρείτε το εμβαδόν του AOBE συναρτήσει του a

Είναι, \triangle AHO= \triangle OZB \Rightarrow 2(AHO)=xy και S=(AHZE)-2(AOH)=x(x+y)-xy=x^2= \dfrac{a^2}{2}
εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png
εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 09, 2020 12:59 pm

Λίγη τριγωνομετρία.png
Λίγη τριγωνομετρία.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Και επειδή λίγη τριγωνομετρία δεν έβλαψε ποτέ κανέναν : (AOBE)=

(AOB)+(AEB)=r^2+\dfrac{1}{2}2r\sin\theta\cdot 2r \cos\theta =r^2(1+\sin2\theta)

\dfrac{OE^2}{2}=\dfrac{2r^2-2r^2\cos(90+2\theta)}{2}=r^2(1+\sin2\theta)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης