Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Ιστοσελίδα · #1

: shape.jpg (54.48 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Το

είναι τετράγωνο κέντρου

και το

ορθογώνιο τρίγωνο στο

. Αν η απόσταση $OE = a\,cm$ , να βρείτε το εμβαδόν του AOBE

συναρτήσει του

S.E.Louridas · #2

Γιά ένα γειά στον Άριστο Μαθηματικό και φίλο Μιχάλη.
Το hide θα αποσυρθεί μετά την επόμενη ανάρτηση.
Το πανέμορφο αυτό θέμα αυτό πράγματι είναι για να κινεί την σκέψη:

"Κολάμε" το ορθογώνιο τρίγωνο OAO'

,

σημείο της

στο ορθογώνιο ίσο του ορθογώνιο τρίγωνο O''B

,

σημείο της

, άρα δημιουργείται ισοδύναμο τετράγωνο, οπότε αρκεί να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου EO'OO''

με διαγώνιο το

που είναι $\frac{a^2}{2}$

edit: Άρση του hide

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2020 6:49 pm
shape.jpgΤο είναι τετράγωνο κέντρου και το ορθογώνιο τρίγωνο στο . Αν η απόσταση $OE = a\,cm$ , να βρείτε το εμβαδόν του συναρτήσει του

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου.Είναι $AE^2+EB^2=b^2 \,\,\,(*)$ .Επιπλέον από το θεώρημα Πτολεμαίου για το εγγράψιμο AOBE

θα είναι $\dfrac{b\sqrt{2}}{2}\left ( AE+EB \right )=ab\Leftrightarrow AE+EB=a\sqrt{2}\Leftrightarrow AE^2+EB^2+2AE\cdot BE=2a^2\,\,\,\,\,\,(**)$
Οπότε οι (*),(**)

με αφαίρεση δίνουν $2AE\cdot EB=2a^2-b^2$ .
$\left ( AOBE \right )=\left ( AOB \right )+\left ( AEB \right )=\dfrac{1}{2}\left ( AE\cdot EB+\dfrac{b^2}{2} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{2a^2-b^2}{2}+\dfrac{b^2}{2} \right )=\dfrac{a^2}{2}$

angvl · #4

: εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (73.05 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Καλησπέρα. Από "πτολεμα'ί'δα"

με αγάπη έχουμε :

$\displaystyle (AB)(OE) = (AO)(BE) + (OB)(AE) \Rightarrow ba = \frac{b}{\sqrt{2}}(BE + AE) \Rightarrow BE + AE = a\sqrt{2}$

$\displaystyle (AOBE) = (AOE) + (BOE) = \frac{(AO)(OE)(AE)}{4R} + \frac{(BO)(BE)(OE)}{4R} = \frac{a}{2\sqrt{2}}(BE + AE) =$

$\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{2}}a\sqrt{2} \displaystyle \Rightarrow (AOBE) = \frac{a^2}{2}$

Με πρόλαβε ο Πρόδρομος! Το αφήνω για το σχήμα.

angvl · #5

: εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (96.06 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Βάζω ένα σχήμα για αυτό που έγραψε ο κ. Λουρίδας!

(Σημ. Η γωνία ΑΕΒ είναι ορθή)

Altrian · #6

p_gianno · #7

: ειδικό τετράπλευρο 2C.png (33.38 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

και

κάθετες στην

εγγράψιμο και $\angle OEB =\angle AEO=45^0$ . Συνεπώς τα τα ορθογώνια τρίγωνα EBI, AKE

έχουμε

και

Επίσης από τα ίσα τρίγωνα AKO, BIO

(Έχουν $AO=OB, \angle KAO=\angle IOB$ (οξείες με πλευρές καθέτους) και είναι ορθογώνια).

Άρα AK=OI

και

Επομένως

Είναι τώρα

( $EBOA)=(AEO)+(EBO)=\frac{1}{2} a\cdot AK+\frac{1}{2} a\cdot BI=\frac{1}{2}a \cdot a=\frac{1}{2}a^2$

#8

: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (16.94 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Αγνοώ το τετράγωνο ABCD

και κατασκευάζω το τετράγωνο EFST

που κάθε του πλευρά είναι το άθροισμα : $\boxed{AE + EB = k + m}$ .

Επειδή $\widehat {OEB} = 45^\circ$ το σημείο

είναι το κέντρο αυτού του τετραγώνου

Με διαγωνίους ES = FT = 2a

. Προφανώς : $\vartriangle TOA = \vartriangle OEB$ οπότε θα είναι και ισεμβαδικά .

Έτσι $\boxed{\left( {AEBO} \right) = \left( {OTE} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}}$

Βλέπω πιο πάνω και τον αγαπητό Αλέξανδρο (Τριανταφυλλάκη) να "Κινείται" στο ίδιο "μήκος κύματος " .

Είναι τιμή μου αφού οι λύσεις του Αλεξάνδρου είναι πάντα, Λακωνικές και οξυδερκείς.

Επίσης η άσκηση, ελαφρώς παραλλαγμένη, υπάρχει και στο ημερολόγιο της Ελένης Μήτσιου ( Μαθηματική βιβλιοθήκη έκδοση από το μακαρίτη Χ. Βαφειάδη το 1998)

#9

Σχηματίζω το τετράγωνο, πλευράς

,

που επειδή $\widehat {OEA} = 45^\circ$ η

είναι φορέας της διαγωνίου του

.

: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου_new.png (21.26 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Πάλι : $\boxed{\left( {AEBO} \right) = \left( {AEO} \right) + \left( {OEB} \right) = \left( {AEO} \right) + \left( {OKA} \right) = \left( {OKE} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}}$

#10

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2020 6:49 pm
shape.jpgΤο είναι τετράγωνο κέντρου και το ορθογώνιο τρίγωνο στο . Αν η απόσταση $OE = a\,cm$ , να βρείτε το εμβαδόν του συναρτήσει του

Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα!

Θέτω EB=x, AE=y, AO=OB=b.

Από τα θεωρήματα Πτολεμαίου, έχω:

: Εμβ.Ειδ.Τετρ..png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} bx + by = ab\sqrt 2 \\ \\ \dfrac{{b\sqrt 2 }}{a} = \dfrac{{by + bx}}{{xy + {b^2}}} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{a}{{xy + {b^2}}} \Leftrightarrow xy + {b^2} = a^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(AOBE)=\frac{a^2}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2020 6:49 pm
shape.jpgΤο είναι τετράγωνο κέντρου και το ορθογώνιο τρίγωνο στο . Αν η απόσταση $OE = a\,cm$ , να βρείτε το εμβαδόν του συναρτήσει του

Είναι, $\triangle AHO= \triangle OZB \Rightarrow 2(AHO)=xy$ και $S=(AHZE)-2(AOH)=x(x+y)-xy=x^2= \dfrac{a^2}{2}$

: εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές

KARKAR · #12

: Λίγη τριγωνομετρία.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Και επειδή λίγη τριγωνομετρία δεν έβλαψε ποτέ κανέναν : (AOBE)=

$(AOB)+(AEB)=r^2+\dfrac{1}{2}2r\sin\theta\cdot 2r \cos\theta =r^2(1+\sin2\theta)$

$\dfrac{OE^2}{2}=\dfrac{2r^2-2r^2\cos(90+2\theta)}{2}=r^2(1+\sin2\theta)$

Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν ειδικού τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση