Ορθογωνιακές σκέψεις

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11560
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθογωνιακές σκέψεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 24, 2020 11:14 am

Ορθογωνιακές  σκέψεις.png
Ορθογωνιακές σκέψεις.png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
\bigstar Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με : AB=AC\sqrt{2} , οι διάμεσοι AM και CN τέμνονται στο E .

α) Δείξτε ότι : CN \perp AM ... β) Δείξτε ότι : (AEC)=(MENB)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 735
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ορθογωνιακές σκέψεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μαρ 24, 2020 11:34 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:14 am
Ορθογωνιακές σκέψεις.png\bigstar Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με : AB=AC\sqrt{2} , οι διάμεσοι AM και CN τέμνονται στο E .

α) Δείξτε ότι : CN \perp AM ... β) Δείξτε ότι : (AEC)=(MENB)
α) Από κριτήριο καθετότητας αρκεί \rm NA^2-NM^2=CA^2-CM^2\Leftrightarrow \dfrac{c^2}{4}-\dfrac{b^2}{4}=b^2-\dfrac{a^2}{4}\Leftrightarrow \dfrac{2b^2}{4}-\dfrac{b^2}{4}=b^2-\left ( \dfrac{b^2+2b^2}{4} \right )\Leftrightarrow
\rm\Leftrightarrow \dfrac{b^2}{4}=b^2-\dfrac{3}{4}b^2=\dfrac{b^2}{4} που ισχύει.
β)\rm \left ( AEC \right )=\left ( MENB \right )\Leftrightarrow \left ( AEC \right )+\left ( AEN \right )=\left ( MENB \right )+\left ( AEN \right )\Leftrightarrow \left ( ACN \right )=\left ( AMB \right ).
Αρκεί λοιπόν \rm \dfrac{1}{2}AN\cdot AC=\dfrac{1}{2}AB\cdot MN\Leftrightarrow \dfrac{c}{2}b=c\dfrac{b}{2} που ισχύει.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9227
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογωνιακές σκέψεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 24, 2020 12:26 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:14 am
Ορθογωνιακές σκέψεις.png\bigstar Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με : AB=AC\sqrt{2} , οι διάμεσοι AM και CN τέμνονται στο E .

α) Δείξτε ότι : CN \perp AM ... β) Δείξτε ότι : (AEC)=(MENB)
α) Είναι \displaystyle c = b\sqrt 2 ,a = b\sqrt 3  \Rightarrow AE = \frac{2}{3}{m_a} = \frac{{b\sqrt 3 }}{3} και \displaystyle CE = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt {2{b^2} + 2{a^2} - {c^2}} }}{2} = \frac{{b\sqrt 6 }}{3}

\displaystyle A{E^2} + C{E^2} = {b^2}, που αποδεικνύει το ζητούμενο.

β) Αρκεί να δείξω ότι \displaystyle (EMC) = (ENA). Πράγματι,

(EMC) = \dfrac{1}{2}EM \cdot EC = \dfrac{1}{9}{m_a}{m_c} = \dfrac{1}{2}AE \cdot EN = (ENA)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7152
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογωνιακές σκέψεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 24, 2020 3:54 pm

Ορθογωνιακές σκέψεις.png
Ορθογωνιακές σκέψεις.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Φέρνω και τη διάμεσο BZ του \vartriangle ABC. Το E είναι το βαρύκεντρό του .

α) BZ = \sqrt {2{b^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4}}  = \dfrac{3}{2}b \Rightarrow EZ = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2}b = AZ = ZC και άρα \widehat {AEC} = 90^\circ

β) Στα τρίγωνα ANC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAB η βάση AN του πρώτου είναι το μισό της βάσης AB του δευτέρου ενώ για τα αντίστοιχα ύψη ισχύουν τα αντίστροφα .

Άρα είναι ισεμβαδικά οπότε : \left( {AEC} \right) = \left( {MENB} \right)


Για το β ερώτημα βλέπω έχουμε ταύτιση απόψεων με το νεαρό Φωτιάδη .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1813
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογωνιακές σκέψεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 24, 2020 8:49 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:14 am
Ορθογωνιακές σκέψεις.png\bigstar Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με : AB=AC\sqrt{2} , οι διάμεσοι AM και CN τέμνονται στο E .

α) Δείξτε ότι : CN \perp AM ... β) Δείξτε ότι : (AEC)=(MENB)
a)Είναι EM= \dfrac{AM}{3}= \dfrac{a}{6}  \Rightarrow ME . MA= \dfrac{a^2}{12} και    a^2=3b^2 \Rightarrow  \dfrac{a^2}{12}= \dfrac{b^2}{4}=MN^2

Άρα MN^2=ME . MA \Rightarrow CN \bot AM

b)Είναι, (CAE)+(EAN)= (CEM)+(MENB) κι επειδή

MN//AC έχουμε (CME)= (EAN).Άρα  (AEC)=(EMBN)

Ορθογωνιακές κι όχι "ορθογωνειακές" που γράφει στο σκίτσο
Ορθογωνειακές σκέψεις.png
Ορθογωνειακές σκέψεις.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες