Σύγκλιση καθέτων

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4005
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Σύγκλιση καθέτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 24, 2020 11:38 pm

Σύγκλιση καθέτων.png
Σύγκλιση καθέτων.png (22.05 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές
Σε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right) να δειχθεί ότι οι εκ των A,M,B κάθετες στις MD,DC,CM αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω S στο σχήμα), όπου M το μέσο της AB

Στάθης

Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ...


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σύγκλιση καθέτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μαρ 24, 2020 11:53 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:38 pm
Σύγκλιση καθέτων.pngΣε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right) να δειχθεί ότι οι εκ των A,M,B κάθετες στις MD,DC,CM αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω S στο σχήμα), όπου M το μέσο της AB

Στάθης

Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ...
Καλησπέρα!
Λίγο εκτός φακέλου....
Έστω \rm K\equiv MS\cap DC.Από \rm Carnot αρκεί \rm AM^2+KD^2+BC^2=AD^2+KC^2+BM^2\Leftrightarrow MD^2-MK^2+BC^2=AD^2+MC^2-MK^2\Leftrightarrow
\rm \Leftrightarrow AM^2+AD^2+BC^2=AD^2+MB^2+BC^2 \Leftrightarrow AM^2=BM^2 που ισχύει.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4005
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Σύγκλιση καθέτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 25, 2020 10:31 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:38 pm
Σύγκλιση καθέτων.pngΣε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right) να δειχθεί ότι οι εκ των A,M,B κάθετες στις MD,DC,CM αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω S στο σχήμα), όπου M το μέσο της AB

Στάθης

Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ...
Ας δούμε και μια απόδειξη εντός φακέλου
Σύγκλιση καθέτων 1.png
Σύγκλιση καθέτων 1.png (22.21 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές
Έστω S το σημείο τομής των εκ των A,B καθέτων επί των MD,MC αντίστοιχα και ας είναι T,F τα σημεία τομής τους (των καθέτων αυτών) με τις MD,MC αντίστοιχα
Τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle AMD,\vartriangle BMC\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right) θα ισχύει:
MT\cdot MD=M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}=MF\cdot MC \Rightarrow \dfrac{MT}{MF}=\dfrac{MC}{MD}:\left( 1 \right)
Από την \left( 1 \right) σύμφωνα με το
Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι MS\bot CD και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σύγκλιση καθέτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Μαρ 25, 2020 11:10 am

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους! Μια "τεχνική" απόδειξη με χρήση κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων, ομολογουμένως λιγότερο λαμπερή από τις προηγούμενες.

25-03-2020 Γεωμετρία.jpg
25-03-2020 Γεωμετρία.jpg (32.25 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές

Έστω B(0,0), M(0,1), A(0, 2), C(a, 0), D(b, 2), a,b>0.

Είναι  \displaystyle {\lambda _{MC}} = \frac{{ - 1}}{a} \Rightarrow BS:\;\;y = ax ,  \displaystyle {\lambda _{DC}} = \frac{2}{{b - a}} \Rightarrow MS:\;\;y = \frac{{a - b}}{2}x + 1

και  \displaystyle {\lambda _{MD}} = \frac{1}{b} \Rightarrow AS:\;\;y =  - bx + 2 .

 \displaystyle S:\;\;AS \cap BS . Από το σύστημα  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
y =  - bx + 2\\ 
y = ax 
\end{array} \right. έχουμε ότι  \displaystyle S\left( {\frac{2}{{a + b}},\;\frac{{2a}}{{a + b}}} \right)

Για  \displaystyle x = \frac{2}{{a + b}} είναι  \displaystyle y = \frac{{a - b}}{{a + b}} + 1 = \frac{{2a}}{{a + b}} , άρα  \displaystyle S \in \;MS , οπότε οι AS, MS, DS συντρέχουν.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9335
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύγκλιση καθέτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 25, 2020 11:37 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:38 pm
Σύγκλιση καθέτων.pngΣε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right) να δειχθεί ότι οι εκ των A,M,B κάθετες στις MD,DC,CM αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω S στο σχήμα), όπου M το μέσο της AB

Στάθης

Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ...
Καλημέρα και Χρόνια Πολλά!

Με τα γράμματα του σχήματος, έστω ότι η AT τέμνει την ME στο S.
Σύγκλιση καθέτων.png
Σύγκλιση καθέτων.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
\displaystyle MT \cdot MD = A{M^2} = M{B^2} = MF \cdot MC. Αλλά από το εγγράψιμο TSED, \displaystyle MT \cdot MD = MS \cdot ME

Άρα, \displaystyle MS \cdot ME = MF \cdot MC, οπότε και η BF διέρχεται από το S.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σύγκλιση καθέτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 25, 2020 11:54 am

Πολύ ωραία , ώστε να μην έχει ξανατεθεί . Βλέπε κι άλλες λύσεις εδώ .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4005
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Σύγκλιση καθέτων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 25, 2020 1:31 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 11:54 am
Πολύ ωραία , ώστε να μην έχει ξανατεθεί . Βλέπε κι άλλες λύσεις εδώ .
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1072
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Σύγκλιση καθέτων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Τετ Μαρ 25, 2020 5:53 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:38 pm
Σύγκλιση καθέτων.pngΣε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right) να δειχθεί ότι οι εκ των A,M,B κάθετες στις MD,DC,CM αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω S στο σχήμα), όπου M το μέσο της AB

Στάθης
Σύγκλιση καθέτων.png
Σύγκλιση καθέτων.png (46.34 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Οι AT,BF προεκτεινόμενες τέμνουν αντιστοίχως τις MC, MD στα σημεία T’,F’

Στο  \triangle T’MF’ τα τμήματα FF’,TT’ είναι ύψη με S το σημείο τομής τους συνεπώς αρκεί να δειχθεί ότι

MN είναι φορέας του τρίτου ύψους ή ισοδύναμα ότι T’F’ ||CD \,\,\, (*)

Είναι TFT’F’ εγγράψιμο (\widehat{ F’TT’}=\widehat{ T’FF’}=90^0). Συνεπώς \widehat{ F’T’F} = \widehat{ MTF} \,\, (1)

Επίσης MT \cdot MD=AM^2=MB^2=MF \cdot MC άρα TFCD εγγράψιμο συνεπώς  \hat C = \widehat {MTF} \,\,\, (2)

Από (1) και (2) έπεται \widehat C=\widehat{F’T’F} που σημαίνει ότι ισχύει η (*)


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σύγκλιση καθέτων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Μαρ 29, 2020 4:59 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:38 pm
Σύγκλιση καθέτων.pngΣε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right) να δειχθεί ότι οι εκ των A,M,B κάθετες στις MD,DC,CM αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω S στο σχήμα), όπου M το μέσο της AB

Στάθης

Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ...
Εστω ότι οι AN,BP, τέμνονται στο σημείο S θα αποδείξω ότι και MS\perp DC

Το σημείο S είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου MEG

Αρα MI\perp GE

Από το εγράψιμο τετράπλευρο


NPEG,MN.MG=MP.ME\Leftrightarrow \dfrac{MG}{ME}=\dfrac{MP}{MN},(1)

MN=\dfrac{\upsilon^{2} }{MD}\
       MN=\dfrac{\upsilon ^{2}}{\sqrt{\alpha^{2}+\upsilon ^{2}}},(2)
 

,AM=MB=\upsilon ,AD=a,BC=b,

      MP=\dfrac{\upsilon ^{2}}{\sqrt{\upsilon ^{2}+b^{2}}},(3),



Αρα

\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{MG}{ME}=\dfrac{MD}{MC}\Leftrightarrow GE//CD\Rightarrow


 MS\perp CD
Συνημμένα
Συγκλιση καθέτων.png
Συγκλιση καθέτων.png (38.26 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες