Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μαρ 28, 2020 7:17 pm

Καλησπέρα. Με αφορμή και την παρατήρηση του Γιώργου εδώ
Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG
Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG (28.06 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
\bigstar Το τρίγωνο ABC έχει πλευρές \left ( c,b,a \right )=\left ( 3,4,5 \right ) και I το έγκεντρο αυτού. Αν BE \perp CI με E \in CA τότε

Να εξεταστεί αν το I είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου BEC . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 30, 2020 10:04 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 7:17 pm
Καλησπέρα. Με αφορμή και την παρατήρηση του Γιώργου εδώ
Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG
\bigstar Το τρίγωνο ABC έχει πλευρές \left ( c,b,a \right )=\left ( 3,4,5 \right ) και I το έγκεντρο αυτού. Αν BE \perp CI με E \in CA τότε

Να εξεταστεί αν το I είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου BEC . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα!
Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο.png
Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο.png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Στο τρίγωνο BEC η CM είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε θα είναι και διάμεσος και CB=CE=5, AE=1.

Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα ABE, CMB βρίσκω \displaystyle BE = \sqrt {10} ,CM = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}. Αν D είναι η προβολή του I

στην AC, τότε ID=DA=1 (ως ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου του ABC). Τα τρίγωνα DIC, AEB είναι ίσα,

οπότε \displaystyle CI = BE = \sqrt {10} , δηλαδή \displaystyle \frac{{CI}}{{CM}} = \frac{2}{3}, γεγονός που καθιστά το I βαρύκεντρο του τριγώνου BEC.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7127
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 30, 2020 2:00 pm

Εδώ έγκεντρο εκεί βαρύκεντρο.png
Εδώ έγκεντρο εκεί βαρύκεντρο.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
Αν K το σημείο τομής των CI με τη BE το K θα είναι μέσο της βάσης BE του ισοσκελούς τριγώνου CBE.

Έστω ακόμα, M το σημείο τομής της BI με την AC . Θα είναι ( Θ διχοτόμου ),

\boxed{x = AM = \frac{{4 \cdot 3}}{{3 + 5}} = \frac{3}{2}} κι αφού προφανώς EA = 5 - 4 = 1 θα έχουμε: \boxed{ME = \frac{5}{2} = MC}.

Άρα η AM είναι διχοτόμος μεν του \vartriangle ABC αλλά διάμεσος του \vartriangle BEC συνεπώς

βαρύκεντρο του τριγώνου αυτού θα είναι το I .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 5 επισκέπτες