Μεσογινόμενο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11535
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεσογινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 30, 2020 3:31 pm

Μεσογινόμενο.png
Μεσογινόμενο.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
\bigstar Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD τέμνονται κάθετα . Υπολογίστε το εμβαδόν του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9183
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεσογινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 31, 2020 4:34 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 3:31 pm
Μεσογινόμενο.png\bigstar Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD τέμνονται κάθετα . Υπολογίστε το εμβαδόν του .
H κάθετη από το D στην BD τέμνει την BA στο E.
Μεσογινόμενο.png
Μεσογινόμενο.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Είναι \displaystyle DE||AC \Rightarrow EA = DC = b και \displaystyle {h^2} = ab. Άρα, \boxed{(ABCD) = \frac{{a + b}}{2}\sqrt {ab} }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11535
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεσογινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 31, 2020 6:04 pm

...αριθμητικός μέσος επί γεωμετρικό μέσο ... για δικαιολόγηση του τίτλου :P


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μεσογινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 31, 2020 7:10 pm

Ισχύει a^2+b^2=h^2+k^2 διότι και τα δύο είναι ίσα με OA^2+OB^2+OC^2+OD^2. Άρα έχουμε από άλλη μία φορά το Πυθαγόρειο ότι

a^2+b^2=h^2+k^2= h^2+(h^2+(a-b)^2)

Η πρώτη και η τελευταία μετά την απλοποίηση δίνουν h^2=ab. Άρα το εμβαδόν είναι \frac {1}{2}(a+b)h= \frac {1}{2}(a+b)\sqrt {ab}.
Συνημμένα
emv trap.png
emv trap.png (6.26 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μεσογινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μαρ 31, 2020 9:44 pm

Καλό βράδυ σε όλους. Ακόμη μία , λογιστική με δύο εκφράσεις του εμβαδού.

Από AC \perp BD έπεται \left ( ABCD \right )=AC\cdot BD/2\Rightarrow 4\left ( ABCD \right )^{2}=AC^{2}\cdot BD^{2}=\left ( b^{2}+h^{2} \right )\left ( a^{2}+h^{2}  \right )

ενώ και 4\left ( ABCD \right )^{2}=\left ( a+b \right )^{2} h^{2} . Εξισώνοντας τα β' μέλη παίρνουμε

\left ( b^{2}+h^{2} \right )\left ( a^{2}+h^{2}  \right )=\left ( a+b \right )^{2} h^{2} \Rightarrow ...\left ( h^{2}-ab \right )^{2}=0\Rightarrow h^{2}=ab κ.λπ

Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9183
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεσογινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 01, 2020 11:50 am

Αλλιώς (λίγο τραβηγμένο; :lol: )
Μεσογινόμενο.b.png
Μεσογινόμενο.b.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Αν M, N είναι τα μέσα των AD, BC τότε οι κύκλοι (M, \dfrac{a}{2}), (N, \dfrac{b}{2}) εφάπτονται εξωτερικά

και η AB=h είναι η κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Άρα h=\sqrt{ab}, κλπ.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4594
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεσογινόμενο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Απρ 01, 2020 5:45 pm

Kαλησπέρα σε όλους. Κρατώ το σχήμα του Θανάση. Απλά προσθέτω συντεταγμένες.

Μεσογινόμενο.png
Μεσογινόμενο.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές


Έστω A(0,0), D(a, 0), B(0, c), C(b, c), c > 0.

Είναι  \displaystyle  BD \bot AC \Rightarrow  - \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} =  - 1 \Leftrightarrow {c^2} = ab .

Οπότε  \displaystyle  \left( {ABCD} \right) = \frac{{a + b}}{2} \cdot \sqrt {ab} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης