Τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11712
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 08, 2020 2:18 pm

Τρίγωνο  μεταξύ  τετραγώνων.png
Τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές
\bigstar Δίπλα στο πλευράς 2 , τετράγωνο ABCD , τοποθετούμε το μεγαλύτερο

τετράγωνο BEZH , πλευράς x .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ACZ .

β) Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου , όταν αυτό είναι ισοσκελές .



Λέξεις Κλειδιά:
vassilis314
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 12:08 pm

Re: Τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vassilis314 » Πέμ Απρ 09, 2020 1:15 am

Καλησπέρα. Δεν μου φαίνονται σωστές οι πράξεις μου ... (είναι αργά ...συγχωρεστε με)
1)

(ACZ)=(ABCD)+(BEZH)-[(ACD)+(CHZ)+(AZE)]=
4+x^2-(2+\frac{x(x-2)}{2}+\frac{x(x+2)}{2}) =
4+x^2-(2+\frac{x^2}{2}-x+\frac{x^2}{2}+x) =
4+x^2-(2+x^2) =2

2) Τύπος εμβαδού
E=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}{4}
Έστω AC=a=2\sqrt{2}
Τότε
  • Αν b=c
    E=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}{4}
    2=\frac{\sqrt{(a+2b)a(-a+2b)a}}{4}
    8=\sqrt{(a+2b)a(-a+2b)a}
    64=(a+2b)(-a+2b)a^2
    64=[-a^2+(2b)^2]a^2
    64=[-8+(2b)^2]8
    8=-8+(2b)^2
    16=4b^2
    b=c=2
    το οποίο ισχύει για x=0 (?) - απορρίπτεται επειδη το BEZH είναι μεγαλύτερο του ABCD
  • Αν a=b=2\sqrt{2}
    E=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}{4}
    2=\frac{\sqrt{(2a+c)(2a-c)c^2}}{4}
    8=\sqrt{(2a+c)(2a-c)c^2}
    64=[(2a)^2-c^2]c^2
    64=[32-c^2]c^2
    c^4-32c^2+64=0
    με 2 θετικές ρίζες
    c=2 \sqrt(3) \pm 2

    αυτό ισχύει για:

    αν b=CZ=2\sqrt{2} με πθ στο CHZ
    CZ^2=CH^2+HZ^2
    8=(x-2)^2+x^2
    8=2x^2-4x+4
    2x^2-4x-4=0
    x^2-2x-2=0
    x=2.7321
Η περίμετρος ειναι
4\sqrt{2}+2 \sqrt{3} +2
και
4\sqrt{2}+2 \sqrt{3} -2


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12422
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 09, 2020 8:56 am

Για το εμβαδόν η άσκηση είχε πέσει (λίγο γενικότερα) στον περσινό διαγωνισμό Καγκουρό. Επισυνάπτω δύο λύσεις από το σχετικό βιβλίο.

Ας σημειώσω ότι "περιέργως" το εμβαδόν εξαρτάται μόνο από την πλευρά του αριστερού/μικρού τετραγώνου. Όση και αν είναι η πλευρά του δεξιού/μεγάλου, η απάντηση δεν αλλάζει. Η πρώτη λύση που γράφω, ερμηνεύει καλά την αιτία του φαινομένου.
Συνημμένα
trig se tetrag.png
trig se tetrag.png (135.09 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Απρ 09, 2020 5:03 pm

Καλησπέρα για το α) ερώτημα θυμήθηκα αυτό(έχει νομίζω κάτι αντίστοιχο στο κεφ.10 στο σχολικό στην παρ. Τετραγωνισμός Πολυγώνου)

Εστω G,N τα μέσα των πλευρών CZ και AZ αντίστοιχα του τριγώνου \triangle CAZ. Τότε προφανώς \displaystyle GN=//\frac{AC}{2}. Αλλά
AC//BZ γιατί οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες \angle CAB και \angle ZBE είναι ίσες.Αρα οι φορείς των τμημάτων GN ,AC,BZ είναι και αυτοί παράλληλοι.

Απο το C και το A φέρνω κάθετες στον φορέα του GN οπότε σχηματίζεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο CKLA.

Από Θ.Θαλή γνωρίζουμε ότι αφού CG=GZ , AN=NZ και οι φορείς των GN,AC,BZ είναι παράλληλοι άρα AM=MB και PT=TZ. Οπότε για το εμβαδόν του CKLA και του ACZ έχουμε :

\displaystyle (CKLA)= AC AL και \displaystyle (ACZ)=\frac{1}{2}AC PZ=\frac{1}{2} AC 2PT = AC AL = (CKLA) οπότε αρκεί να βρούμε το εμβαδόν του CKLA.

Το τρίγωνο \triangle ALM είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AM=1 και ισοσκελές γιατί \angle AML=45^0 αρα \displaystyle AL=ML=\sin45^0 AM=\frac{\sqrt{2}}{2} επομένως

\displaystyle (CKLA) = AC AL = 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{{2}} =2


τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων.png
τρίγωνο μεταξύ τετραγώνων.png (196.92 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης