Ορθόκεντρο
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
-
- Δημοσιεύσεις: 142
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm
Ορθόκεντρο
Δίνεται σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)
τελευταία επεξεργασία από APOSTOLAKIS σε Κυρ Σεπ 13, 2020 10:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ορθόκεντρο
Εχει ξανασυζητηθεί σίγουρα.APOSTOLAKIS έγραψε: ↑Παρ Σεπ 11, 2020 3:06 pmΔίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)
Ετσι όπως είναι η εκφώνηση δεν ισχύει.
Αν π.χ η γωνία είναι αμβλεία.
Είναι σωστό αν το είναι μεταξύ των η ισοδύναμα οι γωνίες είναι οξείες.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ορθόκεντρο
Στη περίπτωση που το ανήκει στο ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα , αν υποθέσουμε ότι το δεν είναι ορθόκεντρο οπότε θεωρούμε το ορθόκεντρο , τότε, καταλήγουμε σε άτοπο με βάση διαπραγμάτευσης το σχήμα που ακολουθεί, αρκεί να κατανοήσουμε ότι οι ευθείες περνούν από το ίδιο σημείο (βασιζόμενοι στα πλήρη τετράπλευρα που δημιουργούνται) κτλ .......
(*) Δεν θυμάμαι αν έχει συζητηθεί εδώ. Θα περιμένουμε για αυτό ή για διαπραγμάτευση από άλλον λύτη σε άλλο πνεύμα και αν ... δεν γίνει αυτό, θα επανέλθουμε για περισσότερες λεπτομέρειες.
(*) Δεν θυμάμαι αν έχει συζητηθεί εδώ. Θα περιμένουμε για αυτό ή για διαπραγμάτευση από άλλον λύτη σε άλλο πνεύμα και αν ... δεν γίνει αυτό, θα επανέλθουμε για περισσότερες λεπτομέρειες.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ορθόκεντρο
Καλησπέρα Σωτήρη από την Χαλκίδα.S.E.Louridas έγραψε: ↑Παρ Σεπ 11, 2020 8:41 pmΣτη περίπτωση που το ανήκει στο ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα , αν υποθέσουμε ότι το δεν είναι ορθόκεντρο οπότε θεωρούμε το ορθόκεντρο , τότε, καταλήγουμε σε άτοπο με βάση διαπραγμάτευσης το σχήμα που ακολουθεί, αρκεί να κατανοήσουμε ότι οι ευθείες περνούν από το ίδιο σημείο (βασιζόμενοι στα πλήρη τετράπλευρα που δημιουργούνται) κτλ ....... qcvn.png
(*) Δεν θυμάμαι αν έχει συζητηθεί εδώ. Θα περιμένουμε για αυτό ή για διαπραγμάτευση από άλλον λύτη σε άλλο πνεύμα και αν ... δεν γίνει αυτό, θα επανέλθουμε για περισσότερες λεπτομέρειες.
Υπάρχει πολύ πιο απλή λύση.
Δεν χρειάζομαι καν σχήμα.
Υποθέτω ότι .
Εστω το συμμετρικό του ως προς το
Τα βρίσκονται σε κύκλο.
Επειδή και το ορθόκεντρο εχει αυτή την ιδιότητα θα πρέπει να ταυτίζεται με το
Ειναι γνωστό ότι μία ευθεία τέμνει ένα κύκλο το πολύ σε δύο σημεία.
Θυμάμαι ότι αυτή την απόδειξη την έχω ξαναδώσει.Και επειδη δεν γράφω αλλού μάλλον έχει ξανασυζητηθεί εδώ.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ορθόκεντρο
Καλημέρα-καλημέρα και ειδικά στον Άριστο Μαθηματικό αλλά και φίλο Σταύρο.APOSTOLAKIS έγραψε: ↑Παρ Σεπ 11, 2020 3:06 pmΔίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Πλουραλισμός γαρ, σίγουρα αλληλοσεβασμός και βέβαια όσο το δυνατόν πρωτότυπες λύσεις.
Αυτά είναι τα προσόντα του mathematica μας.
Από τα δεδομένα άμεσα έχουμε την ισότητα των κύκλων , άρα και την συμμετρικότητα τους ως προς την ευθεία της κοινής τους χορδής
Επομένως
(*) Αν μου επιτρέπει ο εισηγητής του θέματος προτείνω το εξής (ας το πούμε ως open problem):
Δίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε οι γωνίες να είναι ίσες ή παραπληρωματικές, τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ορθόκεντρο
Ας δούμε και αυτό και μόνο για λόγους πολυφωνίας και διδακτικής πρότασης.APOSTOLAKIS έγραψε: ↑Παρ Σεπ 11, 2020 3:06 pmΔίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Έστω το ορθόκεντρο που το θεωρούμε διάφορο του Τότε έχουμε τα δύο προφανή εγγράψιμα τετράπλευρα τα Επομένως με τις να μην είναι παράλληλες.
Τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε πράγμα άτοπο, άρα
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ορθόκεντρο
Θα μπορούσατε να μας πείτε, και αν σας είναι εύκολο, την πηγή της όμορφης αυτής άσκησης;APOSTOLAKIS έγραψε: ↑Παρ Σεπ 11, 2020 3:06 pmΔίνεται σκαληνό τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ορθόκεντρο
Εκπληκτικά πράγματα.
Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης.
Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη.
Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά.
Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη)
και όχι τα ασήμαντα(πρόταση ενός θέματος)
Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης.
Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη.
Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά.
Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη)
και όχι τα ασήμαντα(πρόταση ενός θέματος)
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ορθόκεντρο
Καλημέρα ΣταύροΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 13, 2020 2:16 amΕκπληκτικά πράγματα.
Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης.
Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη.
Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά.
Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη)
και όχι τα ασήμαντα(πρόταση ενός θέματος)
Αν δεν πρότεινες το θέμα δεν θα είχαμε την ενασχόληση. Αν και μαζί σου δεν διαφωνώ και ειδικά σε Μαθηματικά θέματα, στην άποψη ότι είναι ασήμαντο η πρόταση ενός θέματος, διαφωνώ πάντα φιλικά βέβαια. Η επιλογή και διατύπωση ενός θέματος είναι πολύ - πολύ σημαντικά πράγματα, ειδικά η διατύπωση του προβλήματος με στόχο να λυθεί. Να συνεχίσεις να προτείνεις γιατί είναι πολύ σημαντικό.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ορθόκεντρο
Γεια σου φίλε Σωτήρη.S.E.Louridas έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 13, 2020 8:23 amΚαλημέρα ΣταύροΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 13, 2020 2:16 amΕκπληκτικά πράγματα.
Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης.
Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη.
Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά.
Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη)
και όχι τα ασήμαντα(πρόταση ενός θέματος)
Αν δεν πρότεινες το θέμα δεν θα είχαμε την ενασχόληση. Αν και μαζί σου δεν διαφωνώ και ειδικά σε Μαθηματικά θέματα, στην άποψη ότι είναι ασήμαντο η πρόταση ενός θέματος, διαφωνώ πάντα φιλικά βέβαια. Η επιλογή και διατύπωση ενός θέματος είναι πολύ - πολύ σημαντικά πράγματα, ειδικά η διατύπωση του προβλήματος με στόχο να λυθεί. Να συνεχίσεις να προτείνεις γιατί είναι πολύ σημαντικό.
Συμφωνώ απόλυτα μαζί σου.
Ειναι σαφές ότι η διατύπωση και μόνο ενός θέματος πολλές φορές είναι πιο σπουδαίο από την λύση.
Σε κάποια ανοικτά προβλήματα τα οποία είναι ασαφή η σωστή διατύπωση οδηγεί στην λύση.
Εκείνο που είδα είναι ότι το μυαλό μου διαφωνεί και ειδικότερα η μνήμη μου.
Μάλλον δεν το εξουσιάζω.
Μην ανησυχείς. Αν έχω κάτι ενδιαφέρον θα το προτείνω.Και δεν με ενδιαφέρει αν έχω το ''κόστος''
να βάλω και την λύση.
Γιατί πιστεύω ότι έτσι ΟΛΟΙ μαθαίνουμε.
-
- Δημοσιεύσεις: 142
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm
Re: Ορθόκεντρο
Συγνώμη για την παράληψη, ήμουν εκτός Αθηνών. Ναι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και την άσκηση την βρήκα σε ένα τετράδιο μου του φροντιστηρίου. Η λύση που είχα γράψει είναι αυτή του κ. Λουρίδα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 4 επισκέπτες