Πλευρά από ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Πλευρά από ορθογώνιο.png (40.65 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

$\bigstar$ Το τετράπλευρο KLMN

, το οποίο έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών : CD , DA , AB , BC

,

αντίστοιχα , του τετραπλεύρου ABCD

, είναι ορθογώνιο . Αν : AB=11 , BC= 9 , AD=7

,

υπολογίστε το μήκος της

.

Filippos Athos · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 1:22 pm
Πλευρά από ορθογώνιο.png $\bigstar$ Το τετράπλευρο , το οποίο έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών : ,

αντίστοιχα , του τετραπλεύρου , είναι ορθογώνιο . Αν : ,

υπολογίστε το μήκος της .

: plevra apo.png (173.91 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Απο τα δεδομένα του προβλήματος οι διαγώνιοι του τετράπλευρου είναι κάθετες μεταξύ τους

Έστω ότι τέμνονται στο

και

Απο Π.Θ.

$x^{2}+y^{2}=81$
$y^{2}+z^{2}=121$
$z^{2}+w^{2}=49$

Από όπου $x^{2}+w^{2}=9\Rightarrow DC^{2}=9\Rightarrow DC=3$

#3

: πλευρά απο ορθογώνιο.png (39.38 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

Επειδή και οι διαγώνιες , $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB$ , είναι παράλληλες στις πλευρές του ορθογωνίου ABCD

αν

το σημείο τομής τους και π. χ.

το μέσο της

από το 2ο Θ. διαμέσων στα

$\vartriangle ADB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle CDB$ με DC = x > 0

, θα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} A{B^2} - A{D^2} = 2DB \cdot OT \hfill \\ |C{B^2} - C{D^2}| = 2DB \cdot OT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {11^2} - {7^2} = 2DB \cdot OT \hfill \\ |{9^2} - {x^2}| = 2DB \cdot OT \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα

$72 = |{x^2} - 81| \Rightarrow x = 3\,$ ή $x = 3\sqrt {17}$ (δεν επαληθεύει την καθετότητα )

#4

Παρόμοια με τον Φίλιππο. Επειδή οι διαγώνιες είναι κάθετες, έχουμε από κριτήριο καθετότητας:

$\displaystyle A{B^2} + C{D^2} = A{D^2} + B{C^2} \Leftrightarrow 121 + C{D^2} = 49 + 81 = 130 \Leftrightarrow$ $\boxed{CD=3}$

Πλευρά από ορθογώνιο

Πλευρά από ορθογώνιο

Re: Πλευρά από ορθογώνιο

Re: Πλευρά από ορθογώνιο

Re: Πλευρά από ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση