Ώρα εφαπτομένης 56

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 56.png (5.96 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Τα τρίγωνα ABC

και

είναι ορθογώνια και ισοσκελή .

Αν οι μαύρες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την $\tan\varphi$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 05, 2020 7:55 pm
Ώρα εφαπτομένης 56.pngΤα τρίγωνα και είναι ορθογώνια και ισοσκελή .

Αν οι μαύρες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την $\tan\varphi$ .

$tan \varphi = \dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{b} \Rightarrow y^2=bx$ και x+y=b

απ όπου έχουμε

$y=b . \dfrac{ \sqrt{5}-1 }{2} \Rightarrow \dfrac{y}{b}=\dfrac{ \sqrt{5}-1 }{2} \Rightarrow tan \phi = \dfrac{1}{ \Phi }$

: ώρα εφαπτομένης56.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 05, 2020 7:55 pm
Τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια και ισοσκελή .

Αν οι μαύρες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την $\tan\varphi$ .

$\displaystyle{ \tan\varphi = \dfrac {ST}{SA} = \dfrac {SA}{AC}= \dfrac {SA}{AB}= \dfrac {SA}{SA+ST}= \dfrac {1}{1 + \dfrac {ST}{SA}}= \dfrac {1}{1+ \tan\varphi}}$ ,

και λύνουμε ως προς $\tan\varphi$ . Τελικά $\tan\varphi = \dfrac {1}{\Phi}$

Edit: Δεν έγραψα στο πι και $\Phi$ , οπότε με πρόλαβαν.

nickchalkida · #4

Ίδια προσέγγιση, εικαστικά.

#5

: Ωρα εφαπτομένης 56_new.png (18.2 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Γράφω το κύκλο $\left( {A,S,C} \right)$ του οποίου εφαπτόμενο τμήμα είναι το

, γιατί οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες .

Ας είναι δε

το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο

Θέτω: $AS = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = b$ . Άρα $AC = SF = a + b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = b$ . Ισχύουν ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} A{T^2} = TS \cdot TF \hfill \\ A{T^2} = A{S^2} + S{T^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b\left( {a + 2b} \right) = {a^2} + {b^2} \Rightarrow {b^2} + ab - {a^2} = 0$ .

Αν $\boxed{a = bx}$ θα προκύψει: ${x^2} - x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \varphi } \Rightarrow \boxed{\tan \phi = \frac{1}{\varphi }}$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 05, 2020 7:55 pm
Ώρα εφαπτομένης 56.pngΤα τρίγωνα και είναι ορθογώνια και ισοσκελή .

Αν οι μαύρες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την $\tan\varphi$ .

H

τέμνει την

στο

και η

την

στο

Προφανώς,

και $P\widehat AS=P\widehat SH=\varphi.$

Άρα, $CS\bot AP.$ Θέτω AC=AB=x

και $\displaystyle AS = y \Leftrightarrow PS = SB = x - y.$

: Ώρα εφαπτομένης.56.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

$\displaystyle \frac{{PS}}{{AC}} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{{A{S^2}}}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{{x - y}}{x} = \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {y^2} + xy - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \varphi = \frac{1}{\Phi }}$

Ώρα εφαπτομένης 56

Ώρα εφαπτομένης 56

Re: Ώρα εφαπτομένης 56

Re: Ώρα εφαπτομένης 56

Re: Ώρα εφαπτομένης 56

Re: Ώρα εφαπτομένης 56

Re: Ώρα εφαπτομένης 56

Μέλη σε σύνδεση