Διχοτόμηση και λόγος

KARKAR · #1

: Διχοτόμηση και λόγος.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

$\bigstar$ Στην πλευρά BC=a

, τριγώνου ABC

, βρίσκεται σημείο

, ώστε : $BS=\dfrac{a}{3}$ .

α) Επιλέξτε σημείο

της πλευράς

, ώστε να προκύψει : (ABST)=(TSC)

.

β) Αν επιπλέον είναι : AB=AC

και

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{AB}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 10, 2021 8:42 am
Διχοτόμηση και λόγος.png $\bigstar$ Στην πλευρά , τριγώνου , βρίσκεται σημείο , ώστε : $BS=\dfrac{a}{3}$ .

α) Επιλέξτε σημείο της πλευράς , ώστε να προκύψει : .

β) Αν επιπλέον είναι : και , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{AB}$ .

α) Στο Σχ.1, επιλέγω $\displaystyle AT = \frac{b}{4}$ και θα δείξω ότι $\displaystyle (TSC) = \frac{1}{2}(ABC).$ Έστω D, E

οι προβολές των A, T

στην

Είναι, $\displaystyle \frac{{TE}}{{AD}} = \frac{{CT}}{{AC}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow TE = \frac{{3AD}}{4},$ άρα $\displaystyle (TSC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2a}}{3} \cdot TE = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}a \cdot AD} \right) = \frac{1}{2}(ABC)$

: Διχ. και λόγος.png (15.9 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

β) $\displaystyle \frac{a}{3} = \frac{b}{4} \Leftrightarrow a = \frac{{3b}}{4}$ και με νόμο συνημιτόνου στο ABC

βρίσκω $\displaystyle \cos C = \frac{3}{8}.$ Ομοίως στο τρίγωνο TSC

έχω:

$\displaystyle T{S^2} = \frac{{9{b^2}}}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{3{b^2}}}{4} \cdot \frac{3}{8} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{TS}}{{AB}} = \frac{{TS}}{b} = \frac{{\sqrt {34} }}{8}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 10, 2021 8:42 am
Διχοτόμηση και λόγος.png $\bigstar$ Στην πλευρά , τριγώνου , βρίσκεται σημείο , ώστε : $BS=\dfrac{a}{3}$ .

α) Επιλέξτε σημείο της πλευράς , ώστε να προκύψει : .

β) Αν επιπλέον είναι : και , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{AB}$ .

Είναι $SC = \frac {2}{3}a$ και $(TSC)=\frac {1}{2}(ABC)$ . Άρα από την ιδιότητα για το πηλίκο των εμβαδών δύο τριγώνων με κοινή μία γωνία, έχουμε

$\dfrac {1}{2} = \dfrac {(TSC)} {(ABC)} = \dfrac {\frac {2}{3}a\cdot CT} {ab}$ . Άρα $CT = \dfrac {3}{4}b$ .

Το δεύτερο μέρος είναι άμεσο αλλά με ανιαρές πράξεις, αφού πρώτα βρούμε από τον Νόμο των Συνημιτόνων το $\cos C$ (αν έκανα σωστά τις πράξεις είναι $\cos C = 3/8$ ).

Διχοτόμηση και λόγος

Διχοτόμηση και λόγος

Re: Διχοτόμηση και λόγος

Re: Διχοτόμηση και λόγος

Μέλη σε σύνδεση