Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12645
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 13, 2021 9:39 pm

Αφελή ερωτήματα  σε τραπέζιο.png
Αφελή ερωτήματα σε τραπέζιο.png (6.76 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Στο ορθογώνιο τραπέζιο με τα δεδομένα του σχήματος :

α) Είναι τα τετράπλευρα ADSM , SMCD όμοια ;

β) Για ποια τιμή του λόγου \dfrac{b}{a} , το M είναι το μέσο της AB ;

γ) ( Προαιρετικό ) Υπάρχει περίπτωση να είναι : \tan D=\cos D ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7982
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 14, 2021 12:56 am

Κατασκευή

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου \overline {ADE}  = 2a και σημείο του S. Η κάθετη στο S επί την DS τέμνει στο M, την εις το A εφαπτομένη του ημικυκλίου .

Θα είναι επομένως MS = MA. Ας είναι τώρα B το συμμετρικό του A ως προς το M

Φέρνω από το B παράλληλη στην AD και τέμνει την ευθεία DS στο C.

Τώρα το τρίγωνο SBA είναι ορθογώνιο στο S γιατί η διάμεσός του SM ισούται με το μισό της AB.

Τα ορθογώνια τρίγωνα BMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SMC έχουν κοινή υποτείνουσα και MB = MS οπότε είναι ίσα και άρα θα έχουν : CB = CS
αφελή ερωτήματα_a.png
αφελή ερωτήματα_a.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές
Το τραπέζιο έχει τις προδιαγραφές του της υπόθεσης κι έχει το M μέσο του ύψους ανεξαρτήτως του λόγου \dfrac{b}{a} με BC = CS = b.

Τα εγράψιμα τετράπλευρα MADS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBMS είναι όμοια αφού αποτελοούνται από όμοια τρίγωνα ομόρροπα τοποθετημένα.

Τέλος όταν \cos D = \sqrt {\varphi  - 1} είναι και \tan D = \sqrt {\varphi  - 1} .

Θα κάνω ξεχωριστή απόδειξη γι’ αυτό .
αφελή ερωτήματα_extra_κατασκευή.png
αφελή ερωτήματα_extra_κατασκευή.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο FDG με υποτείνουσα DG = 1 και κάθετη πλευρά PD = k = \sqrt {\varphi  - 1} \,\,,\boxed{\varphi  = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}.

Ας είναι FG = x \Rightarrow {x^2} = 1 - \left( {\varphi  - 1} \right) = 2 - \varphi και άρα :

\left\{ \begin{gathered} 
  \cos \theta  = \frac{{FD}}{{DG}} = \frac{{\sqrt {\phi  - 1} }}{1} = \sqrt {\varphi  - 1}  \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{{FG}}{{FD}} = \frac{{\sqrt {2 - \varphi } }}{{\sqrt {\varphi  - 1} }} = \sqrt {\varphi  - 1}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. κι αυτό γιατί ισοδύναμα έχω:

2 - \varphi  = {\left( {\varphi  - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2 - \varphi  = {\varphi ^2} - 2\varphi  + 1 \Leftrightarrow {\varphi ^2} - \varphi  - 1 = 0 , αληθές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 14, 2021 6:26 pm

Για την κατασκευή.

Ανάλυση: Τα τετράπλευρα ADSM, SMBC είναι εγγράψιμοι χαρταετοί, άρα οι MC, MD διχοτομούν

τις γωνίες B\widehat MS, A\widehat MS αντίστοιχα, οπότε CM\bot MD και BM=MS= AM.
Ερωτ. σε ορθογώνιο τραπ..png
Ερωτ. σε ορθογώνιο τραπ..png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές
Κατασκευή: Κατασκευάζω τρίγωνο ADS με AD=DS=a και μεταβλητή γωνία \widehat D. Από το A φέρνω κάθετη

στην AD που τέμνει τη μεσοκάθετη του AS στο M. Αν B είναι το συμμετρικό του A ως προς M και η κάθετη από

το B στην AB τέμνει την DS στο C, τότε το τραπέζιο ABCD ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος.


Στην άσκησή μας τώρα.

α) Τα τετράπλευρα είναι προφανώς ισογώνια. Αρκεί να δείξω ότι έχουν και ανάλογες πλευρές. Πράγματι,

επειδή \displaystyle M{S^2} = ab και BM=MS= AM, προκύπτει ότι \displaystyle \frac{{MB}}{a} = \frac{{MS}}{a} = \frac{b}{{MS}} = \frac{b}{{MA}}.

β) Το M είναι έτσι κι αλλιώς μέσο του AB και αφού εκ κατασκευής η τιμή της γωνίας \widehat D αλλάζει, τότε ο λόγος \dfrac{b}{a} μπορεί να πάρει άπειρες τιμές.

γ) \displaystyle \tan D = \cos D \Leftrightarrow {\sin ^2}D + \sin D - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin D = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}, οπότε το τρίγωνο ADS είναι συγκεκριμένο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες