Ίσοι κύκλοι

KARKAR · #1

: Ίσοι κύκλοι.png (12.61 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Για ποια θέση του σημείου

, οι δύο κύκλοι που εφάπτονται στις πλευρές

του τετραγώνου ABCD

και στο τμήμα

, είναι ίσοι μεταξύ τους ;

#2

ισοι κύκλοι.ggb: (34.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 38 φορές

Δίνω το σχήμα και το δυναμικό αρχείο της λύσης

#3

Ο κύκλος $\left( {K,r} \right)$ είναι εγγεγραμμένος στο $\vartriangle BCS$ . Ας είναι

το σημείο τομής των $DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS$ .

Ο κύκλος $\left( {L,r} \right)$ είναι παρεγγεγραμμένος στης πλευράς

του $\vartriangle ATS$ . Η ευθεία της διακέντρου

τέμνει τις $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ στα $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ .

Θέτω: $BS = x\,\,,\,\,AT = y\,\,$ .

Επειδή λόγω συμμετρίας η

διέρχεται από το μέσο

του

θα είναι : $\vartriangle FTM = \vartriangle GCM$ .

Αλλά το $\vartriangle GCL$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο άρα $TF = CG = GL \Rightarrow \boxed{KL = y}$ .

: ϊσοι κύκλοι_ανάλυση.png (22.32 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων $BCS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ATS$ έχω: ${a^2} = x\left( {2a - 2r} \right)\,\,\left( 1 \right)$

Η ακτίνα

(με διάφορους τρόπους ) είναι : $2r = a + x - \sqrt {{a^2} + {x^2}} \,\,\,\left( 2 \right)$

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει :

$\boxed{x = \frac{a}{6}\left[ {\sqrt[3]{2}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 13}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 13}}} \right) + 2} \right]}$ . π. χ. αν $a = 6\,\,,\,\,x \simeq 3,8867932$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 01, 2021 10:56 am
Ίσοι κύκλοι.pngΓια ποια θέση του σημείου , οι δύο κύκλοι που εφάπτονται στις πλευρές

του τετραγώνου και στο τμήμα , είναι ίσοι μεταξύ τους ;

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και

η ακτίνα των ίσων κύκλων. Θέτω MS=x.

Με τα γράμματα του σχήματος

είναι SN=a-2r-x

και

: Ίσοι κύκλοι.Κ.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Με Π. Θ στο BCS

βρίσκω $\boxed{x = \frac{{(a - r)(a - 4r)}}{{a - 2r}}}$ (1)

Από τα όμοια τρίγωνα KMS, LNS

είναι:

$\displaystyle \frac{r}{{a - 2r - x}} = \frac{x}{r}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {(a - r)^2}{(a - 4r)^2} - (a - r)(a - 4r){(a - 2r)^2} + {r^2}{(a - 2r)^2} = 0$

απ' όπου παίρνω, $\boxed{r = \frac{a}{6}\left( {4 - \frac{2}{{\sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}}}} + \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}}} \right) \simeq 0,22816a}$

Στη συνέχεια το

εντοπίζεται από $AS=r+x\simeq 0,3522a$

Ίσοι κύκλοι

Ίσοι κύκλοι

Re: Ίσοι κύκλοι

Re: Ίσοι κύκλοι

Re: Ίσοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση