Σταθερή τιμή παράστασης

#1

: Σταθερή τιμή παράστασης.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Έστω

μεταβλητό σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου (O, r)

ενός τετραγώνου ABCD.

Να δείξετε ότι η τιμή

της παράστασης MA^2MC^2+MB^2MD^2

είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του

στον κύκλο.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 25, 2021 6:39 pm
Σταθερή τιμή παράστασης.png
Έστω μεταβλητό σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τετραγώνου Να δείξετε ότι η τιμή

της παράστασης είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του στον κύκλο.

Χαιρετίσματα από Καστελλόριζο όπου βρέθηκα για ένα ωραίο Φεστιβάλ Γρίφων.

Γράφω λύση με Αναλυτική. Δεν ξέρω αν επιτρέπεται.

O κύκλος έχει εξίσωση x^2+y^2=r^2

και οι κορυφές του τετραγώνου είναι

$A(-r,-r),\, B(r,-r),\, C(r,r),\, D(-r,r)$ . Άρα η δοθείσα παράσταση ισούται

[(x+r)^2+(y+r)^2][(x-r)^2+(y-r)^2]+[(x-r)^2+(y+r)^2][(x+r)^2+(y-r)^2] =

$\,\,\,\,\,\,\,\, +[x^2+y^2+2r^2+2(-x+y)r] [x^2+y^2+2r^2+2(x-y)r]=$

= [3r^2+2(x+y)r] [3r^2-2(x+y)r]+[3r^2+2(-x+y)r] [3r^2+2(x-y)r]=

Edit: Διόρθωση λογιστικών και τυπογραφικών αβλεψιών. Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Γιώργο για τις υποδείξεις.

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 25, 2021 6:39 pm

Έστω μεταβλητό σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τετραγώνου Να δείξετε ότι η τιμή

της παράστασης είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του στον κύκλο.

: shape.png (19.18 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

Θέτω $S = {(xy)^2} + {(mn)^2}$

Από πρώτο θεώρημα διαμέσου έχω:

${x^2} + {y^2} = 2{R^2} + \dfrac{{{{(2R\sqrt 2 )}^2}}}{2} = 6{R^2}$

${m^2} + {n^2} = 6{R^2}$

Με ύψωση στο τετράγωνο και πρόσθεση κατά μέλη καταλήγουμε στην

${\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + {\left( {{m^2} + {n^2}} \right)^2} = 72{R^4}\,\,(1)$

Από δεύτερο θεώρημα διαμέσου έχω:

${x^2} - {y^2} = 2 \cdot 2R\sqrt 2 \cdot k$

${m^2} - {n^2} = 2 \cdot 2R\sqrt 2 \cdot l$

Με ύψωση στο τετράγωνο και πρόσθεση κατά μέλη καταλήγουμε στην

${\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} + {\left( {{m^2} - {n^2}} \right)^2} = 32{R^4}\,\,(2)$

Με αναπτύγματα και αφαίρεση κατά μέλη των (1),(2)

παίρνουμε ότι $S = 10{R^4}$

Σταθερή τιμή παράστασης

Σταθερή τιμή παράστασης

Re: Σταθερή τιμή παράστασης

Re: Σταθερή τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση