διαίρεση τμήματος

[exdx]

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα και ευθεία
Να διαιρεθεί το σε ίσα τμήματα με χρήση μόνο του κανόνα

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα και ευθεία
Να διαιρεθεί το σε ίσα τμήματα με χρήση μόνο του κανόνα

Κάνω την περίπτωση ίσα τμήματα. Κοίταξα για λίγο και την γενική περίπτωση αλλά δεν τα κατάφερα.

Από τυχαία σημεία της παράλληλης φέρνουμε τις που τέμνονται στο , και τις που τέμνονται στο . Ισχυρίζομαι ότι η τέμνει την στο μέσον της . Πράγματι, από Μενέλαο α) στο με διατέμνουσα τηn και μετά β) στο με διατέμνουσα τηn έχουμε

και

Διαιρούμε κατά μέλη και κάνουμε τις απλοποιήσεις των ίσων (λόγω παραλληλίας) λόγων και

Μένει ή αλλιώς , από όπου το ζητούμενο.

Εdit: Διόρθωσα προφανή τυπογραφικά.

[KARKAR]

Διαίρεση τμήματος.png (9.88 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

Παίρνουμε τα ίσα τμήματα , ξεκινώντας από τυχαίο σημείο και χρησιμοποιώντας σταθερό μέρος

του κανόνα . Η τομή των ευθειών δίνει την θέση του σημείου . Τα υπόλοιπα φανερά . Όμοια για κάθε .

[Doloros]

Διαίρεση τμήματος.pngΠαίρνουμε τα ίσα τμήματα , ξεκινώντας από τυχαίο σημείο και χρησιμοποιώντας σταθερό μέρος

του κανόνα . Η τομή των ευθειών δίνει την θέση του σημείου . Τα υπόλοιπα φανερά . Όμοια για κάθε .

[KARKAR]

Δείτε μια λύση για την τριχοτόμηση , εδώ .

[Mihalis_Lambrou]

Παίρνουμε τα ίσα τμήματα , ξεκινώντας από τυχαίο σημείο και χρησιμοποιώντας σταθερό μέρος

του κανόνα . Η τομή των ευθειών δίνει την θέση του σημείου . Τα υπόλοιπα φανερά . Όμοια για κάθε .

Το βήμα αυτό (κοκκινισμένο) δεν είναι επιτρεπτό. Όταν λέμε κατασκευή με κανόνα, εννοούμε όργανο που γράφει ευθείες σύμφωνα με το Αίτημα α' στα Στοιχεία του Ευκλείδη, που λέει "Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν".

Η κατασκευή που κάνεις είναι ουσιαστικά κατασκευή νεύσης (αγγλιστί την ονομάζουν "with marked ruler") που απαγορεύεται ρητά στην Ευκλείδεια. Αν επιτρεπόταν, θα μπορούσαμε πολύ εύκολα να κάνουμε τριχοτόμηση γωνίας και διπλασιασμό του κύβου, οπότε τζάμπα τόσος κόπος στην Ιστορία των Μαθηματικών. Οι αρχαίοι γνώριζαν πολλές τέτοιες μεθόδους, με νεύση, αλλά το πρόβλημα έμενε ανοικτό.

Θεωρώ ότι η παραπάνω λύση είναι χαριτωμένη μεν, αλλά δεν απαντά στο ερώτημα.

[KARKAR]

Θεωρώ ότι η παραπάνω λύση δεν απαντά στο ερώτημα .

Πράγματι , περιέχει "ζαβολιά" . Ωστόσο παρέπεμψα σε λύση "έντιμη" ...

Όμως η κατασκευή είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη και δεν έχει σχέση π.χ. με την τριχοτόμηση γωνίας ,

κατασκευή που είναι εν γένει αδύνατη ...

[exdx]

Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση
Ουσιαστικά έχει απαντηθεί μέσα απο τις παραπομπές που δίνει ο Θανάσης παραπάνω .
Όπως γίνεται η μετάβαση από τα δύο στα τρία αυθύγραμμα τμήματα έτσι μπορεί να γίνει
και από τα στα .
Η αιτιολόγηση μπορεί να γίνει και με όμοια τρίγωνα και το λόγο ομοιότητας.
Το πρόβλημα είναι το πεντηκοστό από μια συλλογή ενενήντα προβλημάτων του Harvard εδώ
Τα περισσότερα απευθύνονται σε φοιτητές .

[Mihalis_Lambrou]

Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση
Ουσιαστικά έχει απαντηθεί μέσα απο τις παραπομπές που δίνει ο Θανάσης παραπάνω .
Όπως γίνεται η μετάβαση από τα δύο στα τρία αυθύγραμμα τμήματα έτσι μπορεί να γίνει
και από τα στα .
Η αιτιολόγηση μπορεί να γίνει και με όμοια τρίγωνα και το λόγο ομοιότητας.
Το πρόβλημα είναι το πεντηκοστό από μια συλλογή ενενήντα προβλημάτων του Harvard εδώ
Τα περισσότερα απευθύνονται σε φοιτητές .

Πάρα πολύ ωραία η συλλογή των προβλημάτων. Ευχαριστούμε.

Για το συγκεκριμένο πρόβλημα ας προσεχθεί ότι απαγορεύει ρητά την χρήση δοθέντος μήκους.

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα και ευθεία
Να διαιρεθεί το σε ίσα τμήματα με χρήση μόνο του κανόνα

Την είχα ξεχάσει, αλλά ξαναέπεσα πάνω της τυχαία.

Την επαναφέρω, αν και στην παραπομπή υπάρχει λύση, πλην όμως η προτεινόμενη λύση είναι υπέρ το δέον πολύπλοκη.

Τώρα βρήκα απλή λύση και θέλω να την μοιραστώ μαζί σας. Η λύση που προτείνω (πίστεύω ότι) έχει ένα ενδιαφέρον στοιχείο. Θα την γράψω, αν χρειαστεί.