Ενδιαφέρον τμήμα

KARKAR · #1

: Ενδιαφέρον τμήμα.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Στις βάσεις AB=10

και

, του τραπεζίου ABDC

, θεωρούμε σημεία : S,T

αντίστοιχα ,

ώστε : $AS=\dfrac{10}{n} , DT=\dfrac{6}{n} , n \in (1 , +\infty)$ . Τα τμήματα AT , DS

, τέμνονται στο σημείο

,

ενώ τα τμήματα BT , CS

, τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 9:00 am
Ενδιαφέρον τμήμα.pngΣτις βάσεις και , του τραπεζίου , θεωρούμε σημεία : αντίστοιχα ,

ώστε : $AS=\dfrac{10}{n} , DT=\dfrac{6}{n} , n \in (1 , +\infty)$ . Τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο ,

ενώ τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Στο σχήμα του Θανάση

Είναι $TC=DC-DT=6-\dfrac{6}{n}=\dfrac{6\left( n-1 \right)}{n}$ και ομοίως $SB=\dfrac{10\left( n-1 \right)}{n}$
Άρα $TC\parallel SB\Rightarrow \dfrac{QS}{SB}=\dfrac{\dfrac{6\left( n-1 \right)}{n}}{\dfrac{10\left( n-1 \right)}{n}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{\dfrac{6}{n}}{\dfrac{10}{n}}=\dfrac{DT}{AS}\overset{DT\parallel AS}{\mathop{=}}\,\dfrac{PT}{PA}\Rightarrow PQ\parallel DC$
$\Rightarrow \dfrac{PQ}{DC}=\dfrac{PS}{SD}=\dfrac{AS}{AS+DT}=\dfrac{\dfrac{10}{n}}{\dfrac{10}{n}+\dfrac{6}{n}}=\dfrac{10}{16}\Rightarrow PQ=\dfrac{10}{16}\cdot DC=\dfrac{10}{16}\cdot 6=\dfrac{15}{4}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 9:00 am
Ενδιαφέρον τμήμα.pngΣτις βάσεις και , του τραπεζίου , θεωρούμε σημεία : αντίστοιχα ,

ώστε : $AS=\dfrac{10}{n} , DT=\dfrac{6}{n} , n \in (1 , +\infty)$ . Τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο ,

ενώ τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Ενδιαφέρον τμήμα.png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές

$\boxed{\frac{{10}}{n} = 5\frac{2}{n}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\frac{6}{n} = 3\frac{2}{n}\,}$ . Θέτω $\boxed{k = \frac{2}{n},x = PQ}$ , έτσι $AS = 5k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = 3k$ .

$\boxed{\frac{{TP}}{{PA}} = \frac{3}{5}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\frac{{TQ}}{{QB}} = \frac{{TC}}{{SB}} = \frac{{6 - 3k}}{{10 - 5k}} = \frac{{3\left( {2 - k} \right)}}{{5\left( {2 - k} \right)}} = \frac{3}{5}}$ . Άρα PQ//AB//DC

.

Από το τραπέζιο ASCT

έχω: $\boxed{\frac{{TC - PQ}}{{PQ - AS}} = \frac{{TP}}{{PA}} \Rightarrow \frac{{6 - 3k - x}}{{x - 5k}} = \frac{3}{5} \Rightarrow x = \frac{{15}}{4}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 17, 2021 9:00 am
Ενδιαφέρον τμήμα.pngΣτις βάσεις και , του τραπεζίου , θεωρούμε σημεία : αντίστοιχα ,

ώστε : $AS=\dfrac{10}{n} , DT=\dfrac{6}{n} , n \in (1 , +\infty)$ . Τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο ,

ενώ τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Είναι $\dfrac{DT}{AS} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{DT}{AS+DT}= \dfrac{3}{8}$

Εύκολα παίρνουμε $\dfrac{DT}{TC} = \dfrac{1}{n-1} = \dfrac{AS}{SB}$ ,συυνεπώς (θ.κ.δέσμης) οι AD,ST,BC

συγκλίνουν έστω στο

Από Μενέλαο στα τρίγωνα KTA,KTB

με διατέμνουσες αντίστοιχα DPS,CQS

παίρνουμε

$\dfrac{TP}{PA}= \dfrac{DK.ST}{DA.SK}$ και $\dfrac{TQ}{QB}= \dfrac{CK.ST}{CB.SK}$

και λόγω της προφανούς ισότητας των δεύτερων μελών , $\dfrac{TP}{PA}=\dfrac{TQ}{QB}$

Επομένως PQ//AB//CD

και $\dfrac{PQ}{AB}= \dfrac{TP}{TA}= \dfrac{DT}{DT+AS} \Rightarrow \dfrac{PQ}{10}= \dfrac{3}{8} \Rightarrow PQ= \dfrac{15}{4}$

: Ενδιαφέρον τμήμα.png (20.74 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

Ενδιαφέρον τμήμα

Ενδιαφέρον τμήμα

Re: Ενδιαφέρον τμήμα

Re: Ενδιαφέρον τμήμα

Re: Ενδιαφέρον τμήμα

Μέλη σε σύνδεση