Υπολογίσιμος λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ. Το παρόν θέμα έχει αφετηρία ένα ...παλαιότερο Λήμμα (που μου άρεσε βεβαίως)

και έγινε από την επιθυμία μου να το χαρίσω στον εισηγητή του Λήμματος! (Ας μου επιτραπεί, μαζί με την βαθειά εκτίμησή μου προς αυτόν)

: 28-11 Υπολογίσιμος λόγος.png (152.02 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

Το

είναι σημείο της διαμέσου

τριγώνου

.

Τυχαία ευθεία που διέρχεται από το

τέμνει τις πλευρές AB,AC

στα

αντιστοίχως.

Αν ισχύει η σχέση $\left ( BK\cdot AV+CV\cdot AK \right )\left ( BEC \right )=\left ( AK\cdot AV \right )\left ( BAC \right )$ τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEC \right )}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

STOPJOHN · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Νοέμ 28, 2021 6:29 pm Χαιρετώ. Το παρόν θέμα έχει αφετηρία ένα ...παλαιότερο Λήμμα (που μου άρεσε βεβαίως)

και έγινε από την επιθυμία μου να το χαρίσω στον εισηγητή του Λήμματος! (Ας μου επιτραπεί, μαζί με την βαθειά εκτίμησή μου προς αυτόν)
28-11 Υπολογίσιμος λόγος.png

Το είναι σημείο της διαμέσου τριγώνου .

Τυχαία ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τις πλευρές στα αντιστοίχως.

Αν ισχύει η σχέση $\left ( BK\cdot AV+CV\cdot AK \right )\left ( BEC \right )=\left ( AK\cdot AV \right )\left ( BAC \right )$ τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEC \right )}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο,καλή εβδομάδα

Η δοθείσα σχέση γράφεται

$\dfrac{(BAC)}{(BEC)}=\dfrac{BK}{AK}+\dfrac{CV}{AV},(*)$

Από Θ.Μ στο τρίγωνο AMB

με τέμνουσα $KEO, \dfrac{BK}{AK}= \dfrac{OB}{OM}.\dfrac{EM}{AE},(1)$ . Ομίως στο τρίγωνο AMC

με τέμνουσα

$EVO,\dfrac{CV}{AV}=\dfrac{OC}{OM}.\dfrac{EM}{AE},(2), (1)+(2)\Rightarrow \dfrac{BK}{AK}+\dfrac{CV}{AV}= \dfrac{EM}{AE}(\dfrac{OB+OC}{OM})=2.\dfrac{EM}{AE},(3)$

Δηλαδή $\dfrac{(BAC)}{(EBC)}= 2.\dfrac{EM}{AE},(**) , \dfrac{(BAC)}{(BEC)}=\dfrac{\upsilon _{a}}{EJ}=\dfrac{MA}{ME}=1+\dfrac{AE}{EM},x=\dfrac{EM}{AE}$

$1+\dfrac{1}{x}=2x\Leftrightarrow x=1,x> 0$

$\dfrac{(BAC)}{(BEC)}=2$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Νοέμ 28, 2021 6:29 pm Χαιρετώ. Το παρόν θέμα έχει αφετηρία ένα ...παλαιότερο Λήμμα (που μου άρεσε βεβαίως)

και έγινε από την επιθυμία μου να το χαρίσω στον εισηγητή του Λήμματος! (Ας μου επιτραπεί, μαζί με την βαθειά εκτίμησή μου προς αυτόν)
28-11 Υπολογίσιμος λόγος.png

Το είναι σημείο της διαμέσου τριγώνου .

Τυχαία ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τις πλευρές στα αντιστοίχως.

Αν ισχύει η σχέση $\left ( BK\cdot AV+CV\cdot AK \right )\left ( BEC \right )=\left ( AK\cdot AV \right )\left ( BAC \right )$ τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEC \right )}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους και Καλό μήνα!

Από τα B, C

φέρνω παράλληλες στην

που τέμνουν την

στα

αντίστοιχα. Προφανώς, NM=MP.

: Υπολογίσιμος λόγος.Μ..png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

$\displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(BEC)}} = \frac{{2(ABM)}}{{2(EBM)}} = \frac{{AM}}{{ME}}$ (1)

Αλλά, από την δοθείσα σχέση, $\displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(BEC)}} = \frac{{BK}}{{KA}} + \frac{{CV}}{{VA}} = \frac{{NE}}{{EA}} + \frac{{PE}}{{EA}} = \frac{{2MP + PE}}{{EA}} + \frac{{PE}}{{EA}} = \frac{{2ME}}{{EA}}$

και από την (1),

$\displaystyle 2M{E^2} = AM(AM - ME) \Leftrightarrow A{M^2} - AM \cdot ME - 2M{E^2} = 0.$

Αν θέσω $\displaystyle \frac{{AM}}{{ME}} = t,$ τότε t^2-t-2=0,

απ' όπου

και κατά συνέπεια $\boxed{\frac{{(BAC)}}{{(BEC)}} = 2}$

Υπολογίσιμος λόγος

Υπολογίσιμος λόγος

Re: Υπολογίσιμος λόγος

Re: Υπολογίσιμος λόγος

Μέλη σε σύνδεση