Επιφανειακός λόγος
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Επιφανειακός λόγος
Οι τέμνονται ανά δύο στα Να υπολογίσετε το λόγο
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Επιφανειακός λόγος
Το θέμα έχει ξανασυζητηθεί στο και δεν θα απαντήσω πριν την πρώτη τουλάχιστον απάντησηgeorge visvikis έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 29, 2021 3:23 pmΕπιφανειακός λόγος.png
Επί των πλευρών τριγώνου θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα ώστε
Οι τέμνονται ανά δύο στα Να υπολογίσετε το λόγο
Απλά να βάλω ένα ακόμα ερώτημα (αν μου το επιτρέπει ο Γιώργος ): Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και έχουν κοινό βαρύκεντρο
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Επιφανειακός λόγος
Έστω σημεία εσωτερικά των πλευρών αντίστοιχα τριγώνου ώστε: (προφανώς με ) . Να υπολογιστεί συναρτήσει των ο λόγος ,όπου . Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την θα έχουμε: . Αλλάgeorge visvikis έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 29, 2021 3:23 pmΕπιφανειακός λόγος.png
Επί των πλευρών τριγώνου θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα ώστε
Οι τέμνονται ανά δύο στα Να υπολογίσετε το λόγο
Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε: . Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι: και
Προσθέτοντας τις σχέσεις παίρνουμε:
από όπου προκύπτει προφανώς
Σχόλιο: Στην ειδική περίπτωση που έθεσε ο Γιώργος είναι
Όσο για το ερώτημα που έθεσα καλλίτερα να απαντήσει κάποιος άλλος (Τι θα το κάνουμε: Γιάννης κερνάει , Γιάννης πίνει )
Σημείωση: Για όποιον έχει χρόνο και ενδιαφέρεται για "τέτοιου" είδους θέματα μπορεί να ρίξει μια ματιά εδώ
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Επιφανειακός λόγος
Ευχαριστώ τον Στάθη για τη λύση του παρόντος θέματος και δίνω μία διαφορετική προσέγγιση χρησιμοποιώντας
του λόγου τα καμώματα. Σύμφωνα με την παραπομπή είναι και για θα είναι Είναι λοιπόν, και ομοίως
Επομένως,
του λόγου τα καμώματα. Σύμφωνα με την παραπομπή είναι και για θα είναι Είναι λοιπόν, και ομοίως
Επομένως,
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Επιφανειακός λόγος
Για την ιστορία.
Το αποτέλεσμα αυτό ονομάζεται Θεώρημα Routh. Βλέπε π.χ. εδώ. Υπάρχει π.χ. στο βιβλίο του A Treatise on Analytical Statics (β έκδοση 1896) σελίς 82. Βλέπε εδώ.
.
Yπάρχει στην Συναγωγή του Πάππου ένα θεώρημα που λέει ότι τα έχουν το ίδιο βαρύκεντρο. Το δείχνει με συνθετική Γεωμετρία αλλά η απόδειξη με Αναλυτική Γεωμετρία είναι αρκετά απλή και ενδιαφέρουσα. Θα την γράψω, αν χρειαστεί, μόλις βρω ευκαιρία.
Θα ήταν ενδιαφέρον αν θα μπορούσαμε τα αποδείξουμε την άσκηση του Στάθη με βάση το θεώρημα του Πάππου.
(Αρχικά ισχυρίστηκα ότι ο Πάππος αναφερόταν στο . Αυτό ήταν παραδρομή μου γιατί από βιασύνη παρανάγνωσα το τρίγωνο στο οποίο αναφερόταν ο Στάθης. Ζητώ συγνώμη για το σφάλμα μου.)
.
Το αποτέλεσμα αυτό ονομάζεται Θεώρημα Routh. Βλέπε π.χ. εδώ. Υπάρχει π.χ. στο βιβλίο του A Treatise on Analytical Statics (β έκδοση 1896) σελίς 82. Βλέπε εδώ.
.
Edit: Κάνω μία διόρθωση.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 29, 2021 4:47 pmΝα δείξετε ότι τα τρίγωνα και έχουν κοινό βαρύκεντρο
Yπάρχει στην Συναγωγή του Πάππου ένα θεώρημα που λέει ότι τα έχουν το ίδιο βαρύκεντρο. Το δείχνει με συνθετική Γεωμετρία αλλά η απόδειξη με Αναλυτική Γεωμετρία είναι αρκετά απλή και ενδιαφέρουσα. Θα την γράψω, αν χρειαστεί, μόλις βρω ευκαιρία.
Θα ήταν ενδιαφέρον αν θα μπορούσαμε τα αποδείξουμε την άσκηση του Στάθη με βάση το θεώρημα του Πάππου.
(Αρχικά ισχυρίστηκα ότι ο Πάππος αναφερόταν στο . Αυτό ήταν παραδρομή μου γιατί από βιασύνη παρανάγνωσα το τρίγωνο στο οποίο αναφερόταν ο Στάθης. Ζητώ συγνώμη για το σφάλμα μου.)
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Δεκ 03, 2021 7:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Επιφανειακός λόγος
Έστω ότι οι διάμεσοι των τριγώνων αντίστοιχα, τέμνονται στο καιΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 29, 2021 4:47 pm
Απλά να βάλω ένα ακόμα ερώτημα (αν μου το επιτρέπει ο Γιώργος ): Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και έχουν κοινό βαρύκεντρο
Εύκολα (με Μενέλαο) βρίσκω ότι Προφανώς, το είναι μέσο του και το μέσο του άρα οι έχουν κοινό μέσο Άρα:
Επομένως που σημαίνει ότι το είναι κοινό βαρύκεντρο των τριγώνων
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Επιφανειακός λόγος
Για το δεύτερο ερώτημα εστω η διάμεσος στο τρίγωνο και τοgeorge visvikis έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 29, 2021 3:23 pmΕπιφανειακός λόγος.png
Επί των πλευρών τριγώνου θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα ώστε
Οι τέμνονται ανά δύο στα Να υπολογίσετε το λόγο
βαρύκεντρο του.Θα αποδειχθεί ότι
Από το πρώτο ερώτημα ισχύουν (μπορώ να τα αποδείξω αν ζητηθούν)
Με θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο και τέμνουσα
Ομοίως στο τρίγωνο
με τέμνουσα AMJ
Στο με τέμνουσα
- Συνημμένα
-
- Eπειφανειακός λόγος.png (75.01 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 26 επισκέπτες