Άθροισμα 45 μοιρών

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Άθροισμα 45 μοιρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Δεκ 03, 2021 9:13 pm

Καλό βράδυ σε όλους! Το θέμα είναι ευρέως γνωστό. Όμως μαζί με παλαιότερες αποδείξεις που μπορούμε
να φέρουμε στο προσκήνιο , πολύ πιθανόν να δούμε -και να χαρούμε βεβαίως- καινούριες προσεγγίσεις!

Δεκτές ασφαλώς για το << τερπνόν του πλουραλισμού>> και εκτός φακέλου λύσεις.

Αν για τις οξείες γωνίες x,y ισχύουν : tanx=\dfrac{1}{2} και tany=\dfrac{1}{3} τότε να δειχθεί ότι x+y=\dfrac{\pi }{4} .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4993
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 03, 2021 10:40 pm

Καλησπέρα σε όλους. Αποφεύγω τις τετριμμένες λύσεις. Νομίζω αυτό θα αρέσει στον Γιώργο, αφού εμπλέκονται "γνώριμοι" αριθμοί, έστω και χωρίς άμεση συσχέτιση με το θέμα μας.

03-12-2021 Γεωμετρία.png
03-12-2021 Γεωμετρία.png (33.03 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13916
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 03, 2021 11:30 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 9:13 pm

Αν για τις οξείες γωνίες x,y ισχύουν : tanx=\dfrac{1}{2} και tany=\dfrac{1}{3} τότε να δειχθεί ότι x+y=\dfrac{\pi }{4} .
Αργά ή γρήγορα θα βάλω μία (γνωστή) απλή γεωμετρική απόδειξη αλλά για την ώρα ας δούμε την στάνταρ τριγωνομετρική που υπήρχε σε όλες τις παλιές Τριγωνομετρίες:

Είναι \displaystyle{\tan (x+y) = \dfrac {\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y}= \dfrac {\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{3} }{1- \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{3}}=1}.

Και επειδή η x+y είναι στο πρώτο ή στο δεύτερο τεταρτημόριο, έπεται ότι είναι στο πρώτο (θετική εφαπτομένη), από όπου x+y=\dfrac{\pi }{4} .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11170
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 04, 2021 8:52 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 9:13 pm
Καλό βράδυ σε όλους! Το θέμα είναι ευρέως γνωστό. Όμως μαζί με παλαιότερες αποδείξεις που μπορούμε
να φέρουμε στο προσκήνιο , πολύ πιθανόν να δούμε -και να χαρούμε βεβαίως- καινούριες προσεγγίσεις!

Δεκτές ασφαλώς για το << τερπνόν του πλουραλισμού>> και εκτός φακέλου λύσεις.

Αν για τις οξείες γωνίες x,y ισχύουν : tanx=\dfrac{1}{2} και tany=\dfrac{1}{3} τότε να δειχθεί ότι x+y=\dfrac{\pi }{4} .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα σε όλους!
Άθροισμα 45.Μ..png
Άθροισμα 45.Μ..png (6.76 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
Με νόμο συνημιτόνου, \displaystyle 25 = 5 + 10 - 2\sqrt 5 \sqrt {10} \cos A \Leftrightarrow \cos A =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \widehat A = 135^\circ και το συμπέρασμα έπεται.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2197
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 04, 2021 10:03 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 9:13 pm
Καλό βράδυ σε όλους! Το θέμα είναι ευρέως γνωστό. Όμως μαζί με παλαιότερες αποδείξεις που μπορούμε
να φέρουμε στο προσκήνιο , πολύ πιθανόν να δούμε -και να χαρούμε βεβαίως- καινούριες προσεγγίσεις!

Δεκτές ασφαλώς για το << τερπνόν του πλουραλισμού>> και εκτός φακέλου λύσεις.

Αν για τις οξείες γωνίες x,y ισχύουν : tanx=\dfrac{1}{2} και tany=\dfrac{1}{3} τότε να δειχθεί ότι x+y=\dfrac{\pi }{4} .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Κατασκευάζω τον περίκυκλο του τριγώνου ABC θα αποδείξω ότι η γωνία

\hat{BAC}

αμβλεία και στη συνέχεια ότι η γωνία

\hat{BA'C}=45^{0}\Leftrightarrow \hat{BOC}=90^{0}\Leftrightarrow

        a^{2}=2R^{2}

Εστω

AD\perp CB,AD=\upsilon _{a},DB=2\upsilon _{a},DC=3\upsilon _{a},a=5\upsilon _{a}, 

      b^{2}=BD^{2}+\upsilon _{a}^{2}

\Rightarrow b^{2}=5\upsilon _{a}^{2},c^{2}=10\upsilon _{a}^{2}, b^{2}+c^{2}=\dfrac{3}{5}a^{2}< a^{2}\Rightarrow

 \hat{A}> 90^{0},b^{2}c^{2}=50\upsilon _{a}^{4},(*),bc=2R\upsilon _{a},(*)\Rightarrow 2R^{2}=a^{2}

και τέλος
Συνημμένα
Αθροισμα  45 μοιρών.png
Αθροισμα 45 μοιρών.png (84.13 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11170
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 04, 2021 10:23 am

Με τη βοήθεια του τετραγώνου πλευράς 6 του σχήματος.
Άθροισμα 45.Μβ.png
Άθροισμα 45.Μβ.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές
\displaystyle 2x + 2y = 90^\circ  \Leftrightarrow \boxed{x+y=45^\circ}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4993
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 04, 2021 12:51 pm

Καλημέρα σε όλους. Άλλη μια δίχως Τριγωνομετρία και δίχως λόγια.


28-11-2021 Γεωμετρία b.jpg
28-11-2021 Γεωμετρία b.jpg (17.73 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13916
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 04, 2021 1:24 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 12:51 pm
Καλημέρα σε όλους. Άλλη μια δίχως Τριγωνομετρία και δίχως λόγια.
Γιώργο, αυτή την ωραία γεωμετρική απόδειξη είχα κατά νου όταν έγραφα το προηγούμενό μου ποστ. Υπάρχει σε διάφορα βιβλία, όπως π.χ. στο Tanton, Mathematics Galore, σελίς 2.

Με την ευκαιρία ας γράψω μια γενίκευση του αποδεικτέου: \arctan a + \arctan \dfrac {1-a}{1+a} = \dfrac {\pi}{4}.

Το παραπάνω είναι η περίπτωση a=\frac {1}{2} (ή, ένα και το αυτό, a=\frac {1}{3})


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13916
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 04, 2021 4:40 pm

Και έλεγα τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει;

Μα φυσικά ένα ωραίο θεματάκι που ανάρτησε πρόσφατα ο Θανάσης (KARKAR) εδώ. Στο εκεί σχήμα έπεται ότι \theta + \phi +45 =90, που δίνει άλλη μία απόδειξη της παρούσας άσκησης.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8366
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 04, 2021 8:34 pm

Έστω το ημικύκλιο {b_2} κέντρου O και διαμέτρου AB = 20. Για το σημείο P της AB ισχύει , PA = 18 \Rightarrow PB = 2.

Η κάθετη στην AB στο P τέμνει το ημικύκλιο αυτό στο S. Θα ισχύουν : S{P^2} = PA \cdot PB \Rightarrow S{P^2} = 36 \Rightarrow SP = 6\,\,\left( 1 \right) και

\dfrac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}} = \dfrac{{PB}}{{PA}} = \dfrac{2}{{18}} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{{SB}}{{SA}} = \boxed{\dfrac{1}{3} = tanA = \tan \theta \,}\,\left( 2 \right).

Γράφω τώρα (προς την ίδια μεριά) το Απολλώνιο ημικύκλιο {b_3} για κάθε σημείο M του οποίου \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{1}{3} και άρα το S ανήκει σ αυτό .
.
45_μοίρες_1.png
45_μοίρες_1.png (17.8 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές
.
Η κατασκευή γίνεται (ως γνωστό) ως εξής: Φέρνω τη διχοτόμο SE του \vartriangle SAB και θεωρώ το αρμονικό συζυγές, Z, του P ως προς τα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B.

Αν BZ = u, θα έχω: \dfrac{{PB}}{{PE}} = \dfrac{{ZB}}{{ZE}} \Rightarrow \dfrac{2}{3} = \dfrac{u}{{u + 5}} \Rightarrow u = 10.

Επειδή, \tan Z = \dfrac{{SP}}{{PZ}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\tan \omega  = \dfrac{1}{2}}\,\,\left( 3 \right)

Αλλά από κατασκευής \omega  + \theta  = 45^\circ . Αυτό που ήθελα το έδειξα.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4993
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 04, 2021 8:55 pm

04-12-2021 Γεωμετρία.png
04-12-2021 Γεωμετρία.png (26.36 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές


 \displaystyle \overrightarrow {OA}  = \left( {3,1} \right),\;\;\overrightarrow {OB}  = \left( {2, - 1} \right)

 \displaystyle \sigma \upsilon \nu \left( {x + y} \right) = \frac{{\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {10}  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow x + y = 45^\circ


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4993
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 04, 2021 9:10 pm

Kαι κάτι με παρόμοια εργαλεία, να μην πάει χαμένο το σχήμα...


04-12-2021 Γεωμετρία b.png
04-12-2021 Γεωμετρία b.png (27.38 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές


 \displaystyle {e_1}:\;y = \frac{1}{3}x,\;\;\;{e_2}:y =  - \frac{1}{2}x

 \displaystyle B\left( {2, - 1} \right) \in {e_2}

 \displaystyle BD \bot {e_1} \Rightarrow {\lambda _{BD}} =  - 3 , οπότε  \displaystyle BD:\;\;y + 1 =  - 3\left( {x - 2} \right)

Λύνοντας το σύστημα  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
y = \frac{1}{3}x\\ 
y + 1 =  - 3\left( {x - 2} \right) 
\end{array} \right. βρίσκουμε  \displaystyle D\left( {\frac{3}{2},\;\frac{1}{2}} \right) .

Οπότε,  \displaystyle OD = BD = \frac{{\sqrt {10} }}{2} άρα  \displaystyle \widehat {BOD} = x + y = 45^\circ .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Δεκ 05, 2021 11:49 am

Καλημέρα! Σας ευχαριστώ θερμά όλους για τις πολλές και ωραίες προσεγγίσεις !

Αφορμή για το θέμα δόθηκε όταν μαθητές μου με ρώτησαν για τον υπολογισμό της γωνίας των διανυσμάτων

αυτών που προβάλλει ο Γιώργος στην ανάρτηση #11 , αν γίνεται με Γεωμετρικά εργαλεία.

Τους έκανα την απόδειξη που ακολουθεί και τους ...υποσχέθηκα(*) πως θα δούμε στο :logo: ποικιλία λύσεων Γεωμετρικών και όχι μόνο..
5-12 Αθροισμα 45.png
5-12 Αθροισμα 45.png (89.53 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές
Έχουμε BE\cdot AC=2\left ( BAC \right )=5\Rightarrow BE^2=5/2 αλλά και AE^2=AB^2-BE^2=5/2

Το τρίγωνο ABE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα x+y=\widehat{BAE}=45^o.

(*) Με τη βοήθειά σας .. :) .. κράτησα την υπόσχεσή μου! Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Δεκ 06, 2021 9:37 pm

Χαιρετώ και πάλι.
6-12 άθροισμα 45.png
6-12 άθροισμα 45.png (83.49 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
Σύμφωνα με το παλαιό θέμα τούτο είναι \widehat{CEZ}=\widehat{CAE}=x άρα x+y=\widehat{CAD}=45^o.

ΔΕΝ θα κάνω το λάθος να πω ότι αυτή είναι τελευταία ανάρτηση στο παρόν..

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Δεκ 20, 2021 12:33 am

Καλό βράδυ. Επανέρχομαι για να κρατήσω το λόγο μου απέναντι στους μαθητές.
Τους υποσχέθηκα πως θα δημοσιεύσω όποια αξιόλογη λύση βρουν ..δίνοντας τους την ακόλουθη υπόδειξη:
Θεωρείστε δύο ορθογώνια τρίγωνα με λόγο κάθετων πλευρών στο ένα 1/2 και στο άλλο 1/3 και "ενώστε τα" με πρόσφορο τρόπο..
Η επόμενη λύση ανήκει στην Σάννα Καραγιάννη , μαθήτρια με ιδιαίτερες δεξιότητες σ' όλα τα μαθήματα!
αθρ 45 Λύση Σάννας .png
αθρ 45 Λύση Σάννας .png (75.45 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Με το Πυθαγόρειο βρίσκει AB=\sqrt{40} και AC=\sqrt{45}. Υπολογίζει το 2\left ( BAC \right ) με δύο τρόπους: 2\left ( BAC \right )=30 αλλά και 2\left ( BAC \right )=\sqrt{40} \cdot CE. Προκύπτει CE=30/\sqrt{40} οπότε \eta \mu A=\dfrac{CE}{AC}=..=\dfrac{\sqrt{2}}{2} συνεπώς x+y=\widehat{A}=45^o.

Με την ευκαιρία ας δώσω μια ακόμη απόδειξη με τη βοήθεια του Θ. Πτολεμαίου και χρήση του σχήματος
20-12 αθρ. 45.png
20-12 αθρ. 45.png (166.74 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Έχουμε AC= \sqrt{10} , οπότε από το θεώρημα AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC

παίρνουμε  \sqrt{10}BD=5\sqrt{2}\Rightarrow BD^{2}=5 (*) .

Όμως και OB^2+OD^2=5 αφού OB=OD=AC/2=\sqrt{10}/2.

Έτσι OB^2+OD^2=BD^2 άρα \widehat{BOD}=90^o και τελικά x+y=\widehat{A}=45^o.

(*) Συντομότερα: BD=5\sqrt{2}/\sqrt{10}=R\sqrt{2}=\lambda _{4} άρα \widehat{A}=45^o . Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8366
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 20, 2021 2:04 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Δεκ 20, 2021 12:33 am
Καλό βράδυ. Επανέρχομαι για να κρατήσω το λόγο μου απέναντι στους μαθητές.
Τους υποσχέθηκα πως θα δημοσιεύσω όποια αξιόλογη λύση βρουν ..δίνοντας τους την ακόλουθη υπόδειξη:
Θεωρείστε δύο ορθογώνια τρίγωνα με λόγο κάθετων πλευρών στο ένα 1/2 και στο άλλο 1/3 και "ενώστε τα" με πρόσφορο τρόπο..
Η επόμενη λύση ανήκει στην Σάννα Καραγιάννη , μαθήτρια με ιδιαίτερες δεξιότητες σ' όλα τα μαθήματα!
αθρ 45 Λύση Σάννας .png
Με το Πυθαγόρειο βρίσκει AB=\sqrt{40} και AC=\sqrt{45}. Υπολογίζει το 2\left ( BAC \right ) με δύο τρόπους: 2\left ( BAC \right )=30 αλλά και 2\left ( BAC \right )=\sqrt{40} \cdot CE. Προκύπτει CE=30/\sqrt{40} οπότε \eta \mu A=\dfrac{CE}{AC}=..=\dfrac{\sqrt{2}}{2} συνεπώς x+y=\widehat{A}=45^o.

Με την ευκαιρία ας δώσω μια ακόμη απόδειξη με τη βοήθεια του Θ. Πτολεμαίου και χρήση του σχήματος
20-12 αθρ. 45.png
Έχουμε AC= \sqrt{10} , οπότε από το θεώρημα AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC

παίρνουμε  \sqrt{10}BD=5\sqrt{2}\Rightarrow BD^{2}=5 (*) .

Όμως και OB^2+OD^2=5 αφού OB=OD=AC/2=\sqrt{10}/2.

Έτσι OB^2+OD^2=BD^2 άρα \widehat{BOD}=90^o και τελικά x+y=\widehat{A}=45^o.

(*) Συντομότερα: BD=5\sqrt{2}/\sqrt{10}=R\sqrt{2}=\lambda _{4} άρα \widehat{A}=45^o . Φιλικά, Γιώργος.
Εύσημα για την υπόδειξη του Γιώργου :coolspeak: , εύσημα και στην δεσποινίδα Καραγιάννη :clap2:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Δεκ 20, 2021 10:35 pm

Χαιρετώ. Σ' ευχαριστώ Νίκο για την ευαρέσκειά σου προς την υπόδειξη, ας δούμε λοιπόν

μια ακόμη με χρήση της τεχνικής αυτής: Ενώνουμε τα εν λόγω τρίγωνα μύτη με μύτη όπως στο ακόλουθο σχήμα
20-12 αθρ 45.png
20-12 αθρ 45.png (52.61 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές
Το ABCD είναι ορθογώνιο 1X5 και το E  \in AD με AE=3 και ED=2.

Στο τρίγωνο BEC έχουμε τις τρεις πλευρές και εύκολα \widehat{BEC}=135^o.

Άρα x+y=45^o. Φιλικά, ΓΙώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Άθροισμα 45 μοιρών

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Ιαν 12, 2022 2:12 pm

Χαίρετε! Μια (ίσως) τελευταία απόδειξη του παρόντος
12-1 ..45 μοιρών.png
12-1 ..45 μοιρών.png (67.51 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές
Το BIKH είναι τετράγωνο. Εύκολα βρίσκουμε IZ=6=AH άρα σύμφωνα με το κριτήριο 45άρας

παίρνουμε x+y=\widehat{BAC}=45^o. Η χρήση του παλαιού θέματος στην εδώ απόδειξη,

δεν είναι ο μόνος λόγος για την ανάσυρσή του ... Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης