Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm

Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο A τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι D,E σημεία των πλευρών του AB,AC αντίστοιχα , ώστε AD=AE . Να δείξετε ότι αν P,Q είναι τα σημεία τομής των εκ των D,A καθέτων επί την BE με την BC αντίστοιχα τότε το Q είναι το μέσο της PC


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2197
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 04, 2021 11:06 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm
Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο A τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι D,E σημεία των πλευρών του AB,AC αντίστοιχα , ώστε AD=AE . Να δείξετε ότι αν P,Q είναι τα σημεία τομής των εκ των D,A καθέτων επί την BE με την BC αντίστοιχα τότε το Q είναι το μέσο της PC
Εστω SC//AQ,AD=AE=d,BD=EC=b-d Τότε οι γωνίες \hat{ACS}=\hat{QAS}=\hat{ABE}=\varphi ,


Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα ASC,ABE είναι ισα άρα AS=d


Ακόμη DP//AQ//SC\Rightarrow MN=NT,PQ=QC τέλος
Συνημμένα
Ισότητα από ισότητα σε ορθογώνιο ισοσκελές.png
Ισότητα από ισότητα σε ορθογώνιο ισοσκελές.png (71.98 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2173
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Δεκ 04, 2021 11:12 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm
Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο A τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι D,E σημεία των πλευρών του AB,AC αντίστοιχα , ώστε AD=AE . Να δείξετε ότι αν P,Q είναι τα σημεία τομής των εκ των D,A καθέτων επί την BE με την BC αντίστοιχα τότε το Q είναι το μέσο της PC
\triangle DHB= \triangle ZEC \Rightarrow ZC = BH\Rightarrow  \triangle AZC= \triangle ABH \Rightarrow AZ=AH \Rightarrow HK=KZ

Άρα PQ=QC αφού HZCP τραπέζιο
ισότητα από ισότητα...png
ισότητα από ισότητα...png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 248
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Κυρ Δεκ 05, 2021 3:45 pm

Έστω K η τομή της AC με την κάθετο επί της BC στο B. Το \triangle KBC είναι προφανώς ορθογώνιο ισοσκελές,
και έστω L, G τα σημεία τομής των BE, DP με τον περιγεγραμμένο κύκλο (c).
Για να δειχθεί ότι PQ=QC υπολείπεται να δειχθεί ότι η κάθετος από το D στην BE διέρχεται από το K. και πράγματι

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
BK' \perp BC \ \& \ \ K'H \perp BE & \rightarrow B\widehat{K'}G = B\widehat{L}G \cr 
B, G, K, L\ \  \in \ \ (c)  & \rightarrow B\widehat{K}G = B\widehat{L}G \cr 
\end{aligned} 
\right \} \rightarrow B\widehat{K'}G = B\widehat{K}G 
}

δηλαδή τα K, K' ταυτίζονται, και είναι τότε

\displaystyle{ 
{AK \over AC} = {PQ \over QC} = 1 
}
Συνημμένα
rsz_1oriso45.png
rsz_1oriso45.png (56.04 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13143
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 05, 2021 6:58 pm

KOYTRAS.png
KOYTRAS.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Αρκεί : SD \perp BE , το οποίο προκύπτει από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων SAD , BAE .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Δεκ 05, 2021 7:26 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm
Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο A τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι D,E σημεία των πλευρών του AB,AC αντίστοιχα , ώστε AD=AE . Να δείξετε ότι αν P,Q είναι τα σημεία τομής των εκ των D,A καθέτων επί την BE με την BC αντίστοιχα τότε το Q είναι το μέσο της PC
Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Αν η κάθετη στο E επί την DE τέμνει την AB στο F τότε προφανώς το \vartriangle EDF είναι ορθογώνιο ισοσκελές και με EA\bot DE το A είναι το μέσο της DF . Επειδή CA\bot BF,FE\overset{DE\parallel BC}{\mathop{\bot }}\,BC , το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου \vartriangle FBC\Rightarrow CF\bot BE\Rightarrow CF\parallel AQ\parallel DP οπότε από το τραπέζιο πλέον DFCP με A το μέσον της DF θα είναι και Q το μέσο της PC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
abgd
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Δεκ 06, 2021 6:38 pm

Μια απόδειξη με τη βοήθεια γωνιών....
Isotita se orthogonio isoskeles 1.png
Isotita se orthogonio isoskeles 1.png (48.97 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές
... Εύκολα δείχνουμε ότι \displaystyle{M} μέσο της \displaystyle{CD} και εφόσον \displaystyle{MQ{//}DP} θα πρέπει \displaystyle{Q} μέσο του \displaystyle{CP}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες