Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!

#1

Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ στον κύκλο $\displaystyle{(C)}$ με πλευρές τις
$\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ και με διαγώνιες τις $\displaystyle{AC=x, \ \ BD=y}$ .

: Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!.png (19.88 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές

Αν η διαγώνιος $\displaystyle{AC}$ είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{ABD}$ κατά τη γωνία $\displaystyle{A}$ ,
τότε να δειχθεί:

1ο) $\displaystyle{\ \ \frac{x}{y}=\frac{d(a^2+b^2)}{b(a^2+d^2)} }$

2o) $\displaystyle{ \ \ \frac{a}{b}=\frac{d}{c} }$ ή $\displaystyle{ \ \ b=d}$

#2

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 13, 2022 10:32 pm
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ στον κύκλο $\displaystyle{(C)}$ με πλευρές τις
$\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ και με διαγώνιες τις $\displaystyle{AC=x, \ \ BD=y}$ .

Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!.png
Αν η διαγώνιος $\displaystyle{AC}$ είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{ABD}$ κατά τη γωνία $\displaystyle{A}$ ,
τότε να δειχθεί:

1ο) $\displaystyle{\ \ \frac{x}{y}=\frac{d(a^2+b^2)}{b(a^2+d^2)} }$

2o) $\displaystyle{ \ \ \frac{a}{b}=\frac{d}{c} }$ ή $\displaystyle{ \ \ b=d}$

Καλημέρα!

Σύμφωνα με αυτήν και η

είναι συμμετροδιάμεσος του ABC.

: symmedian.K.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές

1o) $\displaystyle \frac{m}{{x - m}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow m = \frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {b^2}}}$ και ομοίως $\displaystyle k = \frac{{{a^2}y}}{{{a^2} + {d^2}}}.$ Με διαίρεση κατά μέλη,

$\displaystyle \frac{k}{m} = \frac{{({a^2} + {b^2})y}}{{({a^2} + {d^2})x}}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{k}{m} = \frac{b}{d}$ (από τα όμοια τρίγωνα BSC, ASD.

)

Επομένως, $\boxed{{\ \ \frac{x}{y}=\frac{d(a^2+b^2)}{b(a^2+d^2)} }}$

2o) Από Πτολεμαίο $\displaystyle \frac{{ad + bc}}{{ab + cd}} = \frac{x}{y} = \frac{{d({a^2} + {b^2})}}{{b({a^2} + {d^2})}} \Rightarrow...$ $\displaystyle a({d^2} - {b^2})(bd - ac) = 0,$

απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο $\boxed{{ \ \ \frac{a}{b}=\frac{d}{c} }}$ ή $\boxed{{ \ \ b=d}}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 14, 2022 11:05 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 13, 2022 10:32 pm
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ στον κύκλο $\displaystyle{(C)}$ με πλευρές τις
$\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ και με διαγώνιες τις $\displaystyle{AC=x, \ \ BD=y}$ .

Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!.png
Αν η διαγώνιος $\displaystyle{AC}$ είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{ABD}$ κατά τη γωνία $\displaystyle{A}$ ,
τότε να δειχθεί:

1ο) $\displaystyle{\ \ \frac{x}{y}=\frac{d(a^2+b^2)}{b(a^2+d^2)} }$

2o) $\displaystyle{ \ \ \frac{a}{b}=\frac{d}{c} }$ ή $\displaystyle{ \ \ b=d}$
Καλημέρα!

Σύμφωνα με αυτήν και η είναι συμμετροδιάμεσος του
1o) $\displaystyle \frac{m}{{x - m}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow m = \frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {b^2}}}$ και ομοίως $\displaystyle k = \frac{{{a^2}y}}{{{a^2} + {d^2}}}.$ Με διαίρεση κατά μέλη,

$\displaystyle \frac{k}{m} = \frac{{({a^2} + {b^2})y}}{{({a^2} + {d^2})x}}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{k}{m} = \frac{b}{d}$ (από τα όμοια τρίγωνα )

Επομένως, $\boxed{{\ \ \frac{x}{y}=\frac{d(a^2+b^2)}{b(a^2+d^2)} }}$

2o) Από Πτολεμαίο $\displaystyle \frac{{ad + bc}}{{ab + cd}} = \frac{x}{y} = \frac{{d({a^2} + {b^2})}}{{b({a^2} + {d^2})}} \Rightarrow...$ $\displaystyle a({d^2} - {b^2})(bd - ac) = 0,$

απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο $\boxed{{ \ \ \frac{a}{b}=\frac{d}{c} }}$ ή $\boxed{{ \ \ b=d}}$

Γιώργο καλημέρα από Γρεβενά...

Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με τις τρεις ασκήσεις που πρότεινα σχετικά με τη συμμετροδιάμεσο.

Ευχαριστώ επίσης το Νίκο Φραγκάκη(Doloros) και Σωτήρη Λουρίδα.

Ένα μικρό σχόλιο που θα ήθελα να προσθέσω αφορά στη διάζευξη του δεύτερου ερωτήματος.

Το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξες, και σωστά, δίνει από το μηδενισμό του γινομένου τη διάζευξη:

$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{d}{c} \ \ (i) }$ ή $\displaystyle{b=d \ \ (ii) }$

Εκείνο που μπορούμε να συμπεράνουμε παραπέρα είναι ότι η πρόταση (i) ισχύει πάντοτε, ενώ η (ii) όταν το

το τετράπλευρο γίνει ισοσκελές τραπέζιο.

Αναλυτικότερα:

"Αν σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ η διαγώνιος $\displaystyle{AC}$ είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{ABD}$ τότε σύμφωνα
με την αναφορά αυτήη διαγώνιος $\displaystyle{BD}$ θα είναι συμμετροδιάμεοος του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και συνεχίζοντας, συμπεραίνουμε ότι η διαγώνιος $\displaystyle{AC}$ θα είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{BCD}$ και τέλος η διαγώνιος $\displaystyle{BD}$ συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{ACD}$ .
Με απλά λόγια:

"Αν στο τετράπλευρο αυτό η μια διαγώνιος είναι συμμετροδιάμεσος ενός τριγώνου τότε και η άλλη θα είναι συμμετροδιάμεοσος του
αντίστοιχου τριγώνου και μάλιστα οι δυο αυτές διαγώνιες θα είναι συμμετροδιάμεσοι των δυο τριγώνων στα οποία το τετράπλευρο
χωρίζεται από την άλλη διαγώνιο"

Ύστερα από αυτά στο τυχαίο αυτό εγγεγραμμένο τετράπλευρο όπου η μια διαγώνιος είναι συμμετροδιάμεοος ενός τριγώνου θα είναι:

: Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!.png (19.88 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

$\displaystyle{\frac{SB}{SD}=\frac{a^2}{d^2} }$

$\displaystyle{\frac{SA}{SC}=\frac{a^2}{b^2} }$

$\displaystyle{\frac{SB}{SD}=\frac{b^2}{c^2} }$

$\displaystyle{\frac{SA}{SC}=\frac{d^2}{c^2} }$

Από τις σχέσεις αυτές εύκολα προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{a}{d}=\frac{b}{c} }$

Δηλαδή η (i).

Έτσι η πρώτη πρόταση της διάζευξης αληθεύει για κάθε τέτοιο τετράπλευρο ενώ τη (ii) μόνο στην περίπτωση
που το τετράπλευρο αυτό γίνει ισοσκελές τραπέζιο.

Κώστας Δόρτσιος

Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!

Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!

Re: Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!

Re: Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι αυτή!

Μέλη σε σύνδεση