Εύρεση λόγων

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!

: 25-6 εύρεση λόγων.png (172.92 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

Το τραπέζιο ABCD

με $AB \parallel CD$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο

και

τα μέσα των πλευρών του AB,BC,CD,DA

αντιστοίχως. Αν $\widehat{AOD}=54^o$ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( ABCD \right )}{KN^2}$

Αν ακόμη $I \in LM$ ώστε $NI \perp ML$ τότε ΙΙ) Να βρεθεί και ο λόγος $\dfrac{IN}{ML}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 25, 2022 9:43 am
Καλημέρα σε όλους!
25-6 εύρεση λόγων.png
Το τραπέζιο με $AB \parallel CD$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο

και τα μέσα των πλευρών του αντιστοίχως. Αν $\widehat{AOD}=54^o$ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( ABCD \right )}{KN^2}$

Αν ακόμη $I \in LM$ ώστε $NI \perp ML$ τότε ΙΙ) Να βρεθεί και ο λόγος $\dfrac{IN}{ML}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Το

είναι ρόμβος με οξεία γωνία $54^\circ,$ άρα $\displaystyle KM = 2KN\sin 27^\circ ,NL = 2KN\cos 27^\circ.$

: Εύρεση λόγων.ΓΜ.png (21.01 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

I) $\displaystyle \frac{{(ABCD)}}{{K{N^2}}} = \frac{{KM \cdot NL}}{{K{N^2}}} = \frac{{4K{N^2}\sin 27^\circ \cos 27^\circ }}{{K{N^2}}} = 2\sin 54^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{(ABCD)}}{{K{N^2}}} = \Phi}$

II) $\displaystyle IL||KN \Leftrightarrow I\widehat NK = 90^\circ \Leftrightarrow I\widehat NM = 36^\circ \Rightarrow \cos 36^\circ = \frac{{IN}}{{NM}} = \frac{{IN}}{{ML}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{IN}}{{ML}} = \frac{\Phi }{2}}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ! Σ΄ευχαριστώ (και πάλι) Γιώργο για την κάλυψη του παρόντος!

Πριν δώσω μια ακόμη λύση του αρχικού, ας επιχειρήσω μια γενίκευση με β΄ζητούμενο:

: 27-6 Τι ..παριστάνει; .png (194.09 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο (O)

και τα

τα μέσα των AB,AD,DC

ενώ $\widehat{AOD}+\widehat{BOC}=6\theta$ . Αν δοθούν MN =m...KN=n

και $sin\theta=a$ τότε

Αποκαλύψτε (υποψία..επιβεβαίωση), τί εκφράζει η παράσταση: $2man(3-4\ a^2)$

Ευχαριστώ ξανά, Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 27, 2022 9:15 pm
Καλό βράδυ! Σ΄ευχαριστώ (και πάλι) Γιώργο για την κάλυψη του παρόντος!

Πριν δώσω μια ακόμη λύση του αρχικού, ας επιχειρήσω μια γενίκευση με β΄ζητούμενο:
27-6 Τι ..παριστάνει; .png

Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο και τα τα μέσα των

ενώ $\widehat{AOD}+\widehat{BOC}=6\theta$ . Αν δοθούν και $sin\theta=a$ τότε

Αποκαλύψτε (υποψία..επιβεβαίωση), τί εκφράζει η παράσταση: $2man(3-4\ a^2)$

Ευχαριστώ ξανά, Γιώργος.

Καλησπέρα Γιώργο!

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων.

: Εύρεση λόγων.ΙΙ.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

$\displaystyle A\widehat OD + B\widehat OC = 6\theta \Leftrightarrow B\widehat DC + A\widehat CD = 3\theta \Leftrightarrow K\widehat NM = B\widehat EC = 3\theta$

$\displaystyle 2man(3 - 4{a^2}) = 2mn\sin \theta (3 - 4{\sin ^2}\theta ) = 2mn\sin 3\theta = \dfrac{1}{2}AC\cdot BD\sin 3\theta= = (ABCD)$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Χαιρετώ και πάλι! Περιεκτική αλλά και πλήρης η λύση του Γιώργου!

Ας βρούμε τους αρχικούς λόγους με χρήση του τελευταίου τύπου ως ειδική περίπτωση:

Για m=n

και $3\theta =54^o$ έχουμε $\dfrac{\left ( ABCD \right )}{KN^{2}}=\dfrac{2n^{2}sin3\theta }{n^{2}}=2sin54^o=\Phi$ και

$\dfrac{IN}{ML}=\dfrac{IN\cdot ML}{ML^{2}}=\dfrac{\left ( KLMN \right )}{ML^{2}}=\dfrac{\left ( ABCD \right )/2}{KN^{2}}=\dfrac{\Phi }{2}$

Ας τονίσω τη σχέση $\left ( KLMN \right )=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{2}$ , η οποία μπορεί να φανεί χρήσιμη

και σε ..

.. άλλο θέμα που προς το παρόν είναι σε αναμονή.. Φιλικά, Γιώργος.

Εύρεση λόγων

Εύρεση λόγων

Re: Εύρεση λόγων

Re: Εύρεση λόγων

Re: Εύρεση λόγων

Re: Εύρεση λόγων

Μέλη σε σύνδεση