Με συμμετροδιάμεσο κι αυτή η κατσκευή

#1

Να κατασκευαστεί το ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ όταν γνωρίζουμε
τις δυο βάσεις του $\displaystyle{a, c}$ και πως η διαγώνιος αυτού $\displaystyle{BD}$ είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

: Με συμμετροδιάμεσο κι αυτή η κατασκευή.png (12.89 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

S.E.Louridas · #2

Κώστα γεια χαρά, καλό καλοκαίρι.
Μία άποψη:
Αν

είναι μέσο της

, τότε έχουμε $\displaystyle{CM = MA = x \Rightarrow {d^2} = 2x^2 \Rightarrow A{C^2} = 2{d^2},}$
με την σχέση $d^2=x\cdot2x =2x^2$ να προκύπτει και από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, MBC.

Επομένως παίρνουμε $\displaystyle{A{C^2} - {d^2} = {\left( {\frac{{c + a}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{c - a}}{2}} \right)^2} = ac \Rightarrow {d^2} = ac \Rightarrow ac = {d^2}.}$
Εδώ γνωρίζουμε πλέον κατασκευαστικά τις d, AC

και τα πράγματα παίρνουν τον δρόμο τους.

edit: Κατά λάθος και λόγω ταχύτητας ένας συντελεστής ο

τοποθετήθηκε ως παρονομαστής. Αυτό λοιπόν διορθώθηκε και αποκαταστάθηκε η κανονικότητα.

#3

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 26, 2022 6:28 pm
Να κατασκευαστεί το ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ όταν γνωρίζουμε
τις δυο βάσεις του $\displaystyle{a, c}$ και πως η διαγώνιος αυτού $\displaystyle{BD}$ είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

Με συμμετροδιάμεσο κι αυτή η κατασκευή.png

Αλλιώς, αν

είναι το σημείο τομής των διαγωνίων, τότε $\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{b=d=\sqrt{ac}}$

Εξάλλου, λόγω Πτολεμαίου είναι $\displaystyle A{C^2} = B{D^2} = ac + {b^2} = 2ac \Leftrightarrow$ $\boxed{AC=BD=\sqrt{2ac}}$

Η κατασκευή είναι πλέον απλή.

Με συμμετροδιάμεσο κι αυτή η κατσκευή

Με συμμετροδιάμεσο κι αυτή η κατσκευή

Re: Με συμμετροδιάμεσο κι αυτή η κατσκευή

Re: Με συμμετροδιάμεσο κι αυτή η κατσκευή

Μέλη σε σύνδεση