Κατασκευή τετραπλεύρου...
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κατασκευή τετραπλεύρου...
Να κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 27
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 13, 2022 4:08 pm
- Τοποθεσία: Περιστερι Αττικης
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
Λημμα: Αν στο τραπεζιο ισχυει οτι τοτε οι διχοτομοι των γωνιων και τεμνονται καθετα στο μεσον της
Το λημμα αυτο ειναι βασικο και δεν θα γραψω αποδειξη.
Κανοντας το τραπεζιο αυτο να ειναι ισοσκελες, ειναι και εγγραψιμο αρα ισχυουν ολα τα ζητουμενα. Επισης,
Το λημμα αυτο ειναι βασικο και δεν θα γραψω αποδειξη.
Κανοντας το τραπεζιο αυτο να ειναι ισοσκελες, ειναι και εγγραψιμο αρα ισχυουν ολα τα ζητουμενα. Επισης,
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
Αρχικά να σε καλωσορίσω στο Είναι πολύ ευχάριστο να έρχονται καινούργιοι μαθητές στο φόρουμ. Έχω δύο παρατηρήσεις, μία γεωμετρική και μία που αφορά στην ελληνική γλώσσα.Κυριάκος Τσουρέκας έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 19, 2022 1:04 pmΛημμα: Αν στο τραπεζιο ισχυει οτι τοτε οι διχοτομοι των γωνιων και τεμνονται καθετα στο μεσον της
Το λημμα αυτο ειναι βασικο και δεν θα γραψω αποδειξη.
Κανοντας το τραπεζιο αυτο να ειναι ισοσκελες, ειναι και εγγραψιμο αρα ισχυουν ολα τα ζητουμενα. Επισης,
α) Στην παρούσα άσκηση ζητείται να κατασκευαστεί ένα τετράπλευρο και όχι τραπέζιο.
Άλλωστε όπως φαίνεται και στο σχήμα της εκφώνησης, το δεν είναι τραπέζιο.
Χρειαζόμαστε λοιπόν μία κατασκευή γενικά για τετράπλευρο και όχι ειδικά για τραπέζιο.
β) Μονοτονικό σύστημα δεν σημαίνει ατονικό.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε. Ο περίκυκλος του επανατέμνει την στο Είναι Άρα,KDORTSI έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 amΝα κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
Κατασκευή τετραπλεύρου 1.png
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
και ομοίως βρίσκω οπότε
Κατασκευή: Έστω μία χορδή ενός κύκλου Οι κύκλοι τέμνουν τέμνουν τον στα
αντίστοιχα. Το είναι ένα από τα τετράπλευρα που ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος. Το
πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις.
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
KDORTSI έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 amΝα κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
Κατασκευή τετραπλεύρου 1.png
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
Ακριβώς Γιώργο . Πάντα !
- Συνημμένα
-
- Κατασκευή Τετραπλεύρου_Test_1.png (17.11 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές
-
- Κατασκευή Τετραπλεύρου_Test_2.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές
-
- Κατασκευή Τετραπλεύρου_Test_4.png (21.02 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές
-
- Κατασκευή Τετραπλεύρου_Test_3.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές
-
- Κατασκευή Τετραπλεύρου_Test_5.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
Γιώργο, Νίκο και Κυριάκο ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το ανωτέρω
πρόβλημα.
Ιδιαίτερα ευχαριστώ το Γιώργο που έδωσε αυτή την απλή και χαρισματική
λύση κατά την οποία βρήκε πρώτα το τμήμα και μετά έκανε την κατασκευή. Ο Νίκος
από την άλλη πλευρά "απόλαυσε" την απειρία των λύσεων δείχνοντας μερικές από αυτές με το
λογισμικό.
Εγώ θα ήθελα και κάτι ακόμα. Έτσι για να μια ακόμα περιπέτεια...
Στην εκφώνηση του προβλήματος έγραψα:
Να κατασκευαστεί πρώτα το τετράπλευρο αυτό και μετά να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς
Πιστεύω ότι μια τέτοια διαδικασία έχει πιο πλούσιο ταξίδι..., δείτε το!
Κώστας Δόρτσιος
πρόβλημα.
Ιδιαίτερα ευχαριστώ το Γιώργο που έδωσε αυτή την απλή και χαρισματική
λύση κατά την οποία βρήκε πρώτα το τμήμα και μετά έκανε την κατασκευή. Ο Νίκος
από την άλλη πλευρά "απόλαυσε" την απειρία των λύσεων δείχνοντας μερικές από αυτές με το
λογισμικό.
Εγώ θα ήθελα και κάτι ακόμα. Έτσι για να μια ακόμα περιπέτεια...
Στην εκφώνηση του προβλήματος έγραψα:
Με άλλα λόγια:
Να κατασκευαστεί πρώτα το τετράπλευρο αυτό και μετά να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς
Πιστεύω ότι μια τέτοια διαδικασία έχει πιο πλούσιο ταξίδι..., δείτε το!
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
Υποθέτω ότι υπάρχει εγράψιμο τετράπλευρο με τις γωνίες στα ορθές που εκπληρώνει και τις άλλες προϋποθέσεις.KDORTSI έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 20, 2022 12:28 amΓιώργο, Νίκο και Κυριάκο ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το ανωτέρω
πρόβλημα.
Ιδιαίτερα ευχαριστώ το Γιώργο που έδωσε αυτή την απλή και χαρισματική
λύση κατά την οποία βρήκε πρώτα το τμήμα και μετά έκανε την κατασκευή. Ο Νίκος
από την άλλη πλευρά "απόλαυσε" την απειρία των λύσεων δείχνοντας μερικές από αυτές με το
λογισμικό.
Εγώ θα ήθελα και κάτι ακόμα. Έτσι για να μια ακόμα περιπέτεια...
Στην εκφώνηση του προβλήματος έγραψα:
Με άλλα λόγια:
Να κατασκευαστεί πρώτα το τετράπλευρο αυτό και μετά να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς
Πιστεύω ότι μια τέτοια διαδικασία έχει πιο πλούσιο ταξίδι..., δείτε το!
Κώστας Δόρτσιος
Το είναι το έγκεντρο του τριγώνου , όπου το σημείο τομής των .
Έστω και . Έστω ότι ο κύκλος εφάπτεται της στο και η τέμνει την στο .
.
Αν ονομάσω με και . Εφαρμόζω το Π. Θ. στα ορθογώνιο τρίγωνα κι έχω :
που λόγω των προκύπτει :
με μόνη δεκτή ρίζα :
Κατασκευάζω τον κύκλο , και μετά ο κύκλος τον τέμνει στο ( προς τη μεριά του ).
Τώρα αν προσθέσω κατά μέλη τις έχω : .
Βρήκα ακόμη μια λύση γράφοντας του κύκλους : όμως ούτε κι αυτή μου αρέσει .
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
KDORTSI έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 19, 2022 12:14 amΝα κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
Νίκο καλησπέρα από Γρεβενά....KDORTSI έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 20, 2022 12:28 amΓιώργο, Νίκο και Κυριάκο ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το ανωτέρω
πρόβλημα.
Ιδιαίτερα ευχαριστώ το Γιώργο που έδωσε αυτή την απλή και χαρισματική
λύση κατά την οποία βρήκε πρώτα το τμήμα και μετά έκανε την κατασκευή. Ο Νίκος
από την άλλη πλευρά "απόλαυσε" την απειρία των λύσεων δείχνοντας μερικές από αυτές με το
λογισμικό.
Εγώ θα ήθελα και κάτι ακόμα. Έτσι για να μια ακόμα περιπέτεια...
Στην εκφώνηση του προβλήματος έγραψα:
Με άλλα λόγια:
Να κατασκευαστεί πρώτα το τετράπλευρο αυτό και μετά να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς
Πιστεύω ότι μια τέτοια διαδικασία έχει πιο πλούσιο ταξίδι..., δείτε το!
Κώστας Δόρτσιος
Κάπως αργά επανέρχομαι στην παλαιότερη αυτή άσκηση στην οποία ζήτησα, όπως γράφω παραπάνω, την κατασκευή πρώτα
του τετραπλεύρου αυτού και μετά τον υπολογισμό του τμήματος της πλευράς .
Κατασκευή του τετραπλεύρου
Εργαζόμαστε στο σχήμα 1.
Η ιδέα που θα αναπτυχθεί είναι να κατασκευαστεί το τρίγωνο με έγκεντρο το σημείο και
να προσδιοριστεί ένα σημείο στην προέκταση της βάσης τέτοιο ώστε αν το ενώσουμε με το
έγκεντρο να προσδιορίσουμε τις κορυφές και ώστε το τετράπλευρο να είναι
το ζητούμενο.
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
.........................................KDORTSI έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 21, 2022 6:57 pmΝα κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
Καλημέρα...
(Συνέχεια...)
Εργαζόμενοι στο προηγούμενο σχήμα 1 και από το Θ. των διχοτόμων στο τρίγωνο προκύπτει:
x
Από το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο και με διατέμνουσα την έχουμε:
Όμως από την ομοιότητα των τριγώνων θα είναι ακόμα:
Άρα η (2) γίνεται:
Επίσης από το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο και με διατέμνουσα την προκύπτει:
καθόσον από το θεώρημα των διχοτόμων στο τρίγωνο είναι:
Τελικά η σχέση (4a) σύμφωνα και με τις σχέσεις (1) γίνεται:
και τελικά μετά από πράξεις έχουμε:
Από τις (4) καΙ (5) προκύπτει:
ή ισοδύναμα:
Επίσης από το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο και με διατέμνουσα την προκύπτει:
και από τις σχέσεις (1) θα είναι:
Έτσι από την (7) και την (4) προκύπτει:
Από αυτήν προκύπτουν τελικά οι ακόλουθες:
και
(συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
KDORTSI έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 21, 2022 6:57 pmΝα κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
...................................................
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
Καλημέρα...
(Συνέχεια...)
Και πάλι εργαζόμαστε στο σχήμα 1.
Από τις σχέσεις (6b) και ((8b) προκύπτει:
Η (9) δίνει:
Η (10) είναι ένα τριώνυμο ως προς με διακρίνουσα και αυτό ως νέο τριώνυμο
έχει διακρίνουσα
Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι η (10) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για τις τιμές του
οι οποίες ανήκουν εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης .
Αυτές είναι:
Δηλαδή:
και
Για να είναι δεκτή η εύκολα βρίσκουμε ότι πρέπει να είναι:
Συμπέρασμα:
Από τις τιμές των (12) και (12a) και με τους αναφερθέντες περιορισμούς και με τον τύπο (6b) ή (8b)
υπολογίζουμε την τρίτη πλευρά του ζητούμενου τριγώνου .
Οι τιμές της πλευράς που προκύπτουν από τους (6b) και (8b) ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα διότι:
η τελευταία από τις ανωτέρω έχει που σημαίνει υπάρχουν τιμές της πλευράς
που προκύπτουν από την (13a).
Έτσι από τον τύπο (4) προκύπτει για την πλευρά η τιμή:
Είναι άρα το σημείο είναι κατασκευάσιμο.
Έτσι αφού κατασκευάστηκε το τρίγωνο και το σημείο τότε αν φέρουμε την , όπου το έγκεντρο του τριγώνου
, βρίσκουμε τα σημεία και . Επομένως το ζητούμενο τετράπλευρο κατασκευάστηκε. Είναι βέβαια το
ζητούμενο γιατί το Θ. Μενελάου που εφαρμόστηκε ισχύει και αντίστροφα.
Διερεύνηση:
Το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις καθώς από τις σχέσεις αναφέρθηκε η ισχύς αυτών για άπειρες τιμές της θετικής πλευράς .
Το σχήμα 1 έτσι κατασκευάστηκε.
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
(Συνέχεια...)KDORTSI έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 21, 2022 6:57 pmΝα κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
...................................................
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
Υπολογισμός της πλευράς (1ος τρόπος)
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Είναι:
όπου
Από Θεώρημα Μενελάσυ στο τρίγωνο και με διατέμνουσα την έχουμε:
Από τη σχέση αυτή και από τις προηγούμενες (6b) και (14):
καθώς επίσης και από τις:
προκύπτει τελικά μετά από πράξεις:
Έτσι ο τύπος (15) σύμφωνα με την (19) δίνει:
και μετά από πράξεις:
Όμως από τη σχέση (9) είναι:
Άρα από την (20) προκύπτει τελικά:
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή τετραπλεύρου...
Καλημέρα σας...KDORTSI έγραψε: ↑Δευ Σεπ 26, 2022 1:59 pmΝα κατασκευαστεί ένα κυρτό και εγγράψιμο τετράπλευρο τέτοιο ώστε να έχει:
κι ακόμα οι διχοτόμοι των γωνιών και να
τέμνονται επί της πλευράς .
Στη συνέχεια να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς .
...................................................
Με αφορμή την ασκηση 6 από τη συλλογή:
download/file.php?id=96350
(Συνέχεια...)
Υπολογισμός της πλευράς (1ος τρόπος)
Κώστας Δόρτσιος
Υπολογισμός της πλευράς (2ος τρόπος)
Εργαζόμαστε στο ακόλοουθο σχήμα:
Τα τρίγωνα και είναι όμοια. Άρα:
Άρα:
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες