Σωστό ή λάθος και γιατί;

Ιστοσελίδα · #1

Ένα περιγεγραμμένο σε κύκλο πολύγωνο, με όλες τις πλευρές του ίσες, είναι κανονικό. Σ/Λ

KARKAR · #2

: Αντιπαράδειγμα.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

#3

Ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο αλλά ας εξεταστεί για ποια

είναι σωστή η πρόταση για περιγεγραμμένα

-γωνα.

Al.Koutsouridis · #4

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 20, 2022 3:52 pm
Ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο αλλά ας εξεταστεί για ποια είναι σωστή η πρόταση για περιγεγραμμένα -γωνα.

Η πρόταση δεν είναι σωστή για τα άρτια

. Για

δόθηκε αντιπαράδειγμα παραπάνω, για τα υπόλοιπα άρτια n=2k

μπορούμε να κατασκευάσουμε αντιπαράδειγμα ως εξής:

Κατασκευάζουμε ένα κανονικό

γωνό και με το ίδιο κέντρο αλλά διαφορετικού μεγέθους άλλο ένα κανονικό

γωνό με τις κορυφές του, πάνω στις μεσοκαθέτους των πλευρών του πρώτου κανονικού πολύγωνου. Το πολύγωνο με

κορυφές (τις κορυφές των δυο παραπάνω πολύγωνων) που προκύπτει είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο έχει όλες τις πλευρές του ίσες, αλλά δεν είναι κανονικό. Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα ένα οκτάγωνο, που προκύπτει από τετράγωνα.

Για τα περιττά

μια πρώτη εικασία είναι ότι ισχύει, αλλά η απόδειξη φαίνεται πιο δύσκολη...

: geogebra-export.png (153 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

#5

Έστω

το πολύγωνο, έστω

η πλευρά του και έστω x_1,x_2,...,x_n

τα εφαπτόμενα τμήματα που αντιστοιχούν στις κορυφές A_1, A_2,..., A_n

. Προκύπτει το σύστημα:

x_1+x_2=a

...................
x_n+x_1=a

Το σύστημα αυτό είναι γνωστό. Αν το πλήθος είναι άρτιο έχει μονοπαραμετρική απειρία λύσεων. Αν το πλήθος είναι περιττό, το σύστημα έχει λύση

x_1=x_2=x_3=...=x_n=a/2

Επομένως τα σημεία επαφής είναι τα μέσα των πλευρών του πολυγώνου. Άμεσα τα τρίγωνα A_1OA_2,A_2OA_3, ... , A_nOA_1

είναι ισοσκελή και ίσα, που αποδεικνύει ότι και οι γωνιές του πολυγώνου είναι ίσες κ.λπ.

#6

Ωραία Κώστα! Μπορεί λοιπόν να κατανοηθεί από μαθητές της Β' Λυκείου αλλά μάλλον ξεφεύγει του φακέλου αφού δεν είναι μαθημένοι σε τέτοιου είδους προβλήματα.

Σωστό ή λάθος και γιατί;

Σωστό ή λάθος και γιατί;

Re: Σωστό ή λάθος και γιατί;

Re: Σωστό ή λάθος και γιατί;

Re: Σωστό ή λάθος και γιατί;

Re: Σωστό ή λάθος και γιατί;

Re: Σωστό ή λάθος και γιατί;

Μέλη σε σύνδεση