Καθετότητα του DARIJ GRINBERG 2
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Καθετότητα του DARIJ GRINBERG 2
Έστω τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις ευθείες των πλευρών του αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η είναι κάθετη στην ευθεία Euler του τριγώνου , όπου οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα του DARIJ GRINBERG 2
(Ακόμα μία) εξαιρετική εφαρμογή του Θεωρήματος Στάθη Κούτρα!ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 04, 2022 8:38 pmΈστω τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις ευθείες των πλευρών του αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η είναι κάθετη στην ευθεία Euler του τριγώνου , όπου οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα.
Έστω τα ίχνη των υψών από τα σημεία και τα μέσα των πλευρών , αντίστοιχα. Σύμφωνα λοιπόν με αυτό το Θεώρημα, αρκεί να αποδείξουμε ότι
Μέρος 1: Είναι,
άρα
Επίσης,
όπου η προτελευταία ισότητα ισχύει διότι από τον μεν Νόμο Ημιτόνων προκύπτει ότι
και συνεπώς και , από τον Νόμο Συνημιτόνων δε
και ανάλογες εκφράσεις προκύπτουν για τα και , οπότε διαιρώντας αυτές κατά μέλη έχουμε τους παραπάνω λόγους.
Μέρος 2: Είναι,
και
συνεπώς
Συνοψίζοντας, από τα αποτελέσματα που προέκυψαν, έχουμε ότι
που, όπως είπαμε και πιο πάνω, από το Θεώρημα Στάθη Κούτρα δίνει το ζητούμενο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα του DARIJ GRINBERG 2
Να ευχαριστήσω τον Ορέστη για την αντιμετώπιση του προβλήματος και ας δούμε μια διαφορετική προσέγγιση χρησιμοποιώντας όμως το ίδιο θεώρημα Είναι γνωστό ότι τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου είναι σημεία του περίκυκλου του τριγώνου . Αν είναι λοιπόν το κέντρο του περίκυκλου του τότε με τις ορθές προβολές του στις αντίστοιχα , τότε από τα ορθογώνια , όπου τα ίχνη των υψών από τα αντίστοιχα , προκύπτει ότι οι ορθές προβολές της στις αντίστοιχα , ταυτίζονται (μετρικά) με τα αντίστοιχα.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 04, 2022 8:38 pmκαθετοτητα του Darij Grinberg.png
Έστω τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις ευθείες των πλευρών του αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η είναι κάθετη στην ευθεία Euler του τριγώνου , όπου οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα.
Επίσης είναι
Είναι
Και ομοίως
Από
Από την σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες