Διπλάσιο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Διπλάσιο εμβαδόν.png (10.68 KiB) Προβλήθηκε 927 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας

, του ορθογώνιου κυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ ,

θεωρούμε σημείο

και έστω ότι το τμήμα

τέμνει το τόξο στο σημείο

.

Για ποια θέση του S , ( d= ; )

, είναι :

;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 01, 2023 11:22 am Διπλάσιο εμβαδόν.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του ορθογώνιου κυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ ,

θεωρούμε σημείο και έστω ότι το τμήμα τέμνει το τόξο στο σημείο .

Για ποια θέση του , είναι : ;

Iσοδύναμα

, οπότε $\dfrac {1}{2} OB \cdot OS= \frac {3}{2} r^2\sin 2B$ , ή αλλιώς

$\dfrac {1}{2} r \cdot r \tan B= \dfrac {3}{2} r^2\cdot 2\sin B cos B$ .

Έπεται $\dfrac {\sin B} {\cos B} = 6 \sin B \cos B$ , συνεπώς $\cos ^2 B = \dfrac {1}{6}$ ,

Άρα $OS = OB \tan B = r \sqrt { \dfrac {1}{\cos ^2B } -1 } = r \sqrt 5$ , από όπου $d=OS- OA = (\sqrt 5-1)r$

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 01, 2023 11:22 am Στην προέκταση της ακτίνας , του ορθογώνιου κυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ ,

θεωρούμε σημείο και έστω ότι το τμήμα τέμνει το τόξο στο σημείο .

Για ποια θέση του , είναι : ;

: 2023-10-01_14-52-58.jpg (22.46 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Αλλιώς, αρκεί 4x = TS = 2BT

.

Από διπλό και απλό Πυθαγόρειο, προκύπτει το παραπάνω σύστημα με λύση:

$\displaystyle \left( {x,d} \right) = \left( {\dfrac{{R\sqrt 6 }}{6},\,R\left( {\sqrt 5 - 1} \right)} \right)$ .

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 01, 2023 11:22 am Διπλάσιο εμβαδόν.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του ορθογώνιου κυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ ,

θεωρούμε σημείο και έστω ότι το τμήμα τέμνει το τόξο στο σημείο .

Για ποια θέση του , είναι : ;

Εκτός φακέλου

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

. Θέτω $BT = k \Rightarrow TS = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = 3k$ .

Επειδή $\dfrac{{TB}}{{TS}} = \dfrac{{DB}}{{DS}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ , η τετράδα $\left( {B,S\backslash D,T} \right)$ είναι αρμονική και αφού $OS \bot OB$ θα είναι : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ .

Από το Θ. διχοτόμου $O{B^2} = OT \cdot OB - BT \cdot BD \Rightarrow {r^2} = 3{r^2} - 3{k^2} \Rightarrow \boxed{3{k^2} = 2{r^2}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Συνεπώς προσδιορίζεται το

άρα και το

.

: Διπλάσιο εμβαδόν_αρμονικά.png (18.18 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Επειδή ζητείται το AS = d

, από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχω:

$ST \cdot SB = O{S^2} - O{B^2}$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ γίνεται :

$2k \cdot 3k = {\left( {r + d} \right)^2} - {r^2} \Rightarrow 4{r^2} = d\left( {2r + d} \right)$ με δεκτή τη θετική ρίζα : $\boxed{d = r\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}$ .

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 01, 2023 11:22 am Διπλάσιο εμβαδόν.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του ορθογώνιου κυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ ,

θεωρούμε σημείο και έστω ότι το τμήμα τέμνει το τόξο στο σημείο .

Για ποια θέση του , είναι : ;

Έστω

η προβολή του

στην

. Με τους συμβολισμούς του σχήματος.

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{y}{r} = \dfrac{2}{3} \hfill \\ {x^2} = {r^2} - {y^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{2}{3}r \hfill \\ x = \frac{{\sqrt 5 }}{3}r \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\left( * \right)$ . Επειδή : $\left( {TOS} \right) = 2\left( {OBT} \right) = 2\left( {OBD} \right)$ έχω:

: Διπλάσιο εμβαδόν_κλασσικά.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

$\dfrac{1}{2}\left( {x + d} \right)y = xr \Rightarrow y\left( {x + d} \right) = 2xr$ , οπότε : $\boxed{\frac{{r\sqrt 5 }}{3} = \frac{{\left( {r + d} \right)}}{3} \Rightarrow d = \left( {\sqrt 5 - 1} \right)r}$

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 01, 2023 11:22 am Διπλάσιο εμβαδόν.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του ορθογώνιου κυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ ,

θεωρούμε σημείο και έστω ότι το τμήμα τέμνει το τόξο στο σημείο .

Για ποια θέση του , είναι : ;

Εστω

τότε $(OTN)=(ONS)\Rightarrow NS=TN=y$ , Στο τρίγωνο $OBS, (x+r)^{2}+r^{2}=(3y)^{2},(1),2y.3y=x(x+2r),(2), (1),(2)\Rightarrow x=(\sqrt{5}-1)r$

Διπλάσιο εμβαδόν

Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση