Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

KARKAR · #1

: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας.png (7.1 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Το σημείο

διαιρεί την υποτείνουσα

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC

,

σε λόγο : $\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{5}{2}$ . Στην προέκταση της

, θεωρώ σημείο

. Η

τέμνει την

στο σημείο

. Αν

, υπολογίστε το

, ώστε :

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 27, 2023 11:18 am Επιδίωξη ισεμβαδικότητας.pngΤο σημείο διαιρεί την υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ,

σε λόγο : $\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{5}{2}$ . Στην προέκταση της , θεωρώ σημείο . Η τέμνει την

στο σημείο . Αν , υπολογίστε το , ώστε : .

: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας_κατασκευή.png (13.56 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Η από το

παράλληλη στην

συναντά την

στο

. κ. λ. π.

Παρατήρηση :

Ο χωρισμός που δόθηκε χρειάζεται μόνο στους υπολογισμούς.

Επειδή δόθηκε : $\dfrac{{BS}}{{SC}} = \dfrac{5}{2}$ θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} x + y = a \hfill \\ x = y + z \hfill \\ \frac{w}{z} = \frac{5}{2} \hfill \\ \frac{{w + y + z}}{x} = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{5a}}{7} \hfill \\ y = \frac{{2a}}{7} \hfill \\ z = \frac{{3a}}{7} \hfill \\ w = \frac{{15a}}{14} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα $\boxed{TC = w + z = \frac{{3a}}{2}}$

: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας_υπολογισμός.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 27, 2023 11:18 am Επιδίωξη ισεμβαδικότητας.pngΤο σημείο διαιρεί την υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ,

σε λόγο : $\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{5}{2}$ . Στην προέκταση της , θεωρώ σημείο . Η τέμνει την

στο σημείο . Αν , υπολογίστε το , ώστε : .

2ος τρόπος

Έστω ότι λύθηκε το πρόβλημα .

Επειδή $\left( {CTB} \right) = \left( {PTB} \right)$ τα $\vartriangle CTB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle PTB$ έχουν το ίδιο ύψος από τα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ οπότε : PC//BT

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

.

$\dfrac{{SC}}{{SD}} = \dfrac{{ST}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{5x}}{{2x}} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow \dfrac{{SC}}{{SD}} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow \dfrac{{2x}}{{SD}} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow SD = \dfrac{{4x}}{5}\,\,\left( 1 \right)$ .

: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας_Ανάλυση.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Κατά συνέπεια , $BD = BS - SD = 5x - \dfrac{{4x}}{5} \Rightarrow BD = \dfrac{{21x}}{5}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Εξ άλλου $\dfrac{{PD}}{{AC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{2y}}{a} = \dfrac{{\dfrac{{21x}}{5}}}{{7x}} = \dfrac{{21}}{{35}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow y = \dfrac{{3a}}{{10}}$ , οπότε :

$\boxed{TC = 5y = \dfrac{{3a}}{2}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 27, 2023 11:18 am Επιδίωξη ισεμβαδικότητας.pngΤο σημείο διαιρεί την υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ,

σε λόγο : $\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{5}{2}$ . Στην προέκταση της , θεωρώ σημείο . Η τέμνει την

στο σημείο . Αν , υπολογίστε το , ώστε : .

Επειδή $(BPS)=(TCS) \Rightarrow PC//BT$ κι έστω TC=x

Είναι $\angle PBS+TCS=45^0+135^0=180^0 \Rightarrow BP.BS=CS.CT \Rightarrow \dfrac{CT}{BP}= \dfrac{BS}{SC}= \dfrac{5}{2} \Rightarrow BP= \dfrac{2x}{5}$

Άρα $\dfrac{BP}{PA} = \dfrac{TC}{a} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{2x}{5} }{a- \dfrac{2x}{5} } = \dfrac{x}{a} \Rightarrow x= \dfrac{3a}{2}$

: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας.png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 27, 2023 11:18 am Το σημείο διαιρεί την υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ,

σε λόγο: $\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{5}{2}$ . Στην προέκταση της , θεωρώ σημείο . Η τέμνει την

στο σημείο . Αν , υπολογίστε το , ώστε : .

: shape.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

#6

Ίδια λύση με τον φίλο Μιχάλη Νάννο. Αφήνω το σχήμα.

: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας.png (17.45 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

Re: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

Re: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

Re: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

Re: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

Re: Επιδίωξη ισεμβαδικότητας

Μέλη σε σύνδεση